Обратимый узел

В теории узлов обратимый узел — это узел, который может быть непрерывной деформацией переведён в себя, но с обратной ориентацией. Необратимый узел — это любой узел, который не имеет такого свойства. Обратимость узла является инвариантом узла. Обратимое зацепление — это зацепление с таким же свойством.

Существует только пять типов симметрии узлов, определяемые хиральностью и обратимостью — полностью хиральный, двухсторонний, положительно ахиральный необратимый, отрицательно ахиральный необратимый и полностью ахиральный обратимый.

История вопроса

Число обратимых и необратимых узлов по числу пересечений

Число пересечений	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	OEIS последовательность
Необратимые узлы	0	0	0	0	0	1	2	33	187	1144	6919	38118	226581	1309875	последовательность A052402 в OEIS
Обратимые узлы	1	1	2	3	7	20	47	132	365	1032	3069	8854	26712	78830	последовательность A052403 в OEIS

Давно известно, что большинство простых узлов, таких как трилистник и восьмёрка, обратимы. В 1962 году Ральф Фокс (англ. Ralph Fox) высказал предположение, что некоторые узлы необратимы, но не было доказано их существование, пока в 1963 году Хейл Троттер не обнаружил бесконечное семейство необратимых кружевных зацеплений. Теперь известно, что почти все узлы необратимы.

Обратимые узлы

Простейший нетривиальный обратимый узел, трилистник. Вращение узла на 180 градусов в 3-мерном пространстве вокруг оси на плоскости рисунка даёт тот же самый рисунок, но с противоположным направлением стрелки ориентации.

Все узлы с числом пересечений 7 и менее обратимы. Не известно общего метода, который дал бы ответ обратим узел или нет. Проблему можно перевести в алгебраическую терминологию , но, к сожалению, не известно алгоритма решения этой алгебраической задачи.

Если узел обратим и ахирален, он полностью ахирален. Простейший узел с этим свойством — это восьмёрка. Хиральные обратимые узлы классифицируются как двухсторонние.

Строго обратимые узлы

Более абстрактный способ определения обратимого узла — сказать, что существует гомеоморфизм 3-сферы, переводящий узел в себя, но меняющий ориентацию узла на противоположную. Если использовать вместо гомеоморфизма более строгое условие — инволюцию — получим определение строго обратимого узла. Все узлы с туннельным числом единица, такие как трилистник и восьмёрка, строго обратимы.

Необратимые узлы

Узел 8₁₇, простейший из необратимых.

Простейшим примером необратимого узла служит 8₁₇ (в обозначениях Александера — Бриггса) или .2.2 (в обозначениях Конвея). Кружевной узел 7, 5, 3 необратим, как и все кружевные узлы вида (2p + 1), (2q + 1), (2r + 1), где p, q и r — различные целые, что даёт бесконечное семейство узлов, необратимость которых доказана Троттером.

См. также

• Хиральный узел

Литература

• Jim Hoste, Morwen Thistlethwaite, Jeff Weeks. The first 1,701,936 knots // The Mathematical Intelligencer. — 1998. — Т. 20, вып. 4. — doi:10.1007/BF03025227. Архивировано 15 декабря 2013 года.
• H.F. Trotter. Topology. — Pergamon Press, 1963. — Т. 2. — doi:10.1016/0040-9383(63)90011-9.
• Kunio Murasugi. Knot Theory and Its Applications. — Springer, 2007. — ISBN 9780817647186.
• Greg Kuperberg. Detecting knot invertibility // Journal of Knot Theory and its Ramifications. — 1996. — Т. 5, вып. 2. — doi:10.1142/S021821659600014X. — arXiv:q-alg/9712048.
• W. Edwin Clark, Mohamed Elhamdadi, Masahico Saito, Timothy Yeatman. Quandle colorings of knots and applications. — 2013. — arXiv:1312.3307.
• Kanji Morimoto. There are knots whose tunnel numbers go down under connected sum // Proceedings of the American Mathematical Society. — 1995. — Т. 123, вып. 11. — doi:10.1090/S0002-9939-1995-1317043-4. — .

Внешние ссылки

• Jablan, Slavik & Sazdanovic, Radmila. Basic graph theory: Non-invertible knot and links, LinKnot.
• Explanation with a video, Nrich.Maths.org.