Обратная теорема
Обратная теорема или обратная импликация — обратное утверждение к данной теореме в котором условие исходной теоремы (прямого утверждения) поставлено заключением, а заключение — условием.[1]
Обратной к обратной теореме является исходная (прямая) теорема. Справедливость обеих взаимно обратных теорем означает, что выполнения условий любой из них необходимо и достаточно для справедливости заключения.[1]
Каждая теорема может быть выражена в форме импликации , в которой посылка является условием теоремы, а следствие является заключением теоремы. Тогда теорема, записанная в виде является обратной к ней[2].
Часто используется более общее определение обратной теоремы: если является прямой теоремой, то обратной называется не только теорема , но и теоремы , .[3]
Если условие и/или заключение теоремы являются сложными суждениями, то обратная теорема допускает множество не равносильных друг другу формулировок. Например, если условием теоремы является , а заключением : , то для обратной теоремы существует пять форм:[4]
Вообще говоря, обратная теорема может не быть истинной, даже если прямая теорема верна. Так, теорема «вертикальные углы равны» (иначе: «если углы вертикальные, то они равны»), как известно, верна. Но обратное к ней утверждение «если углы равны, то они вертикальные», вообще говоря, неверно.
Даже если обратное утверждение истинно, то его доказательство может быть гораздо сложнее доказательства прямого. Например, теорема о четырёх вершинах была доказана в 1912 году, а её обратная только в 1998 году.
Свойства
[править | править код]- Прямая теорема эквивалентна теореме, противоположной обратной:
- Обратная теорема эквивалентна противоположной прямой: [5]
Примеры
[править | править код]- Теорему Пифагора можно сформулировать следующим образом:
Если в треугольнике со сторонами длиной , и угол, противолежащий стороне , прямой, то a2+b2=c2.
- Обратная к этой теореме появляется в «Началах» Евклида (книга I, предложение 48), может быть сформулирована следующим образом:
Если в треугольнике со сторонами длиной , и выполняется , то угол, противолежащий стороне , прямой.
- Теорема Абеля и теорема Абеля — Таубера
- Теоремы о вершинах подерного треугольника
- Прямая и обратная предельная теорема
- В ином смысле: теоремы Шеннона для источника общего вида
Смотрите также
[править | править код]- Противоположная теорема
- Тождество
- Отрицание
- Конъюнкция
- Дизъюнкция
- Эквиваленция
- Исключающее «или»
- Импликация
- Обратная импликация
- Штрих Шеффера
- Стрелка Пирса
- Таблица истинности
Примечания
[править | править код]- ↑ 1 2 Обратная теорема // Математический энциклопедический словарь / под ред. Прохорова Ю. В. — М., Советская энциклопедия, 1988. — c. 423
- ↑ Эдельман, 1975, с. 32.
- ↑ Гиндикин, 1972, с. 19.
- ↑ Градштейн, 1965, с. 92.
- ↑ Эдельман, 1975, с. 33.
Литература
[править | править код]- Эдельман С.Л. Математическая логика. — М.: Высшая школа, 1975. — 176 с.
- Гиндикин С.Г. Алгебра логики в задачах. — М.: Наука, 1972. — 288 с.
- Градштейн И.С. Прямая и обратная теоремы. Элементы алгебры логики. — М.: Наука, 1965. — 127 с.
В статье не хватает ссылок на источники (см. рекомендации по поиску). |