Обратное число

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Обра́тное число́ (обратное значение, обратная величина) к данному числу x — это число, умножение которого на x, даёт единицу. Принятая запись: или . Два числа, произведение которых равно единице, называются взаимно обратными. Обратное число не следует путать с обратной функцией. Например, отличается от значения функции, обратной косинусу — арккосинуса, который обозначается или .

Обратное к действительному числу[править | править вики-текст]

Для любого действительного (или комплексного) числа, отличного от нуля, существует число, обратное ему. Обратное к действительному числу можно подать в виде дроби или степени с показателем -1. Но, как правило, используется запись через дробь.

Число Обратное
Дробь Степень

То есть .

Примеры
Число                                      
Обратное                                        

Не стоит путать термины «обратное число» и «противоположное число». Два числа называются противоположными, если их сумма равна нулю. Например, число, противоположное к 3, это -3, а обратное 1/3.

Обратное к нулю[править | править вики-текст]

В арифметике, которая оперирует действительными (или комплексными) числами, нет понятия бесконечности (нет числа «бесконечность»). Поэтому в ней считается, что на ноль делить нельзя. Таким образом, ноль не имеет обратного числа. Но, с момента ввода предельного переходаматематическом анализе), появились такие понятия как бесконечно малая и бесконечно большая величины, которые являются взаимно обратными.

Используя предельный переход, получаем:

  • Правый предел: _ или _
  • Левый предел: _ или _

Таким образом, обратной величиной для нуля, в зависимости от того с какой стороны к нему стремиться, формально является бесконечность со знаком «+» или «−». Однако такое определение обратного к нулю бессмысленно — при введении теряется дистрибутивность, что проявляется, в частности, когда предел обратного квадрата также "равен" бесконечности, но при делении предыдущего предела на этот даёт ответ 0, а не 1.

Но

Обратное к комплексному числу[править | править вики-текст]

Числа, обратные к комплексным, выглядят несколько сложнее нежели обратные к действительным. Существует три формы комплексного числа: алгебраическая, тригонометрическая и показательная.

Формы комплексного числа Число Обратное [1]
Алгебраическая
Тригонометрическая
Показательная

Таким образом, при нахождении обратного к комплексному числу, удобнее пользоваться его показательной формой.

Пример:

Формы комплексного числа Число Обратное [1]
Алгебраическая
Тригонометрическая

или
[2]


или
[2]

Показательная

Обратное к мнимой единице[править | править вики-текст]

Существует лишь два числа (комплексно-сопряженные), обратное и противоположное числа к которым равны. Это .

Число Равенство обратного и противоположного
Запись обратного через дробь Запись обратного через степень

Примечания[править | править вики-текст]

  1. 1 2 Обратное к комплексному числу записывается в такой же форме, как и это число .
  2. 1 2 Запись комплексного числа в тригонометрической форме с использованием конкретного значения косинуса и синуса аргумента:

См. также[править | править вики-текст]