Обратные гиперболические функции

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Обра́тные гиперболи́ческие фу́нкции (известные также как а̀реафу́нкции) — семейство элементарных функций, определяющихся как обратные функции к гиперболическим функциям. Эти функции определяют площадь сектора единичной гиперболы x2y2 = 1 аналогично тому, как обратные тригонометрические функции определяют длину дуги единичной окружности x2 + y2 = 1. Для этих функций часто используются обозначения arcsinh, arcsh, arccosh, arcch и т. д., хотя такое обозначение является, строго говоря, ошибочным, так как arc является сокращением от arcus — дуга, тогда как префикс ar обозначает area — площадь. Более правильными являются обозначения arsinh, arsh и т. д. и названия гиперболический ареасинус, гиперболический ареакосинус и т. д.

В русской литературе обозначения большинства прямых и обратных гиперболических функций (так же как и части тригонометрических) отличаются от английских обозначений.

Название функции Обозначение в русской литературе Обозначение в английской литературе
ареасинус arsh arsinh, sinh−1
ареакосинус arch arcosh, cosh−1
ареатангенс arth artanh, tanh−1
ареакотангенс arcth arcotanh, cotanh−1
ареасеканс arsech arsech, sech−1
ареакосеканс arcsch arcsch, csch−1

Определения функций[править | править вики-текст]

Гиперболический ареасинус для действительного аргумента
Гиперболический ареакосинус для действительного аргумента
Гиперболический ареатангенс для действительного аргумента
Гиперболический ареакотангенс для действительного аргумента
Гиперболический ареасеканс для действительного аргумента
Гиперболический ареакосеканс для действительного аргумента

В комплексной плоскости функции можно определить формулами:

  • гиперболический ареасинус
  • гиперболический ареакосинус
  • гиперболический ареатангенс
  • гиперболический ареакотангенс
  • гиперболический ареасеканс
  • гиперболический ареакосеканс

Квадратными корнями в этих формулах являются главные значения квадратного корня (то есть если представить комплексное число z как при ), а логарифмические функции являются функциями комплексной переменной. Для действительных аргументов можно осуществить некоторые упрощения, например которые не всегда верны для главных значений квадратных корней.

Разложение в ряд[править | править вики-текст]

Обратные гиперболические функции можно разложить в ряды:

Асимптотическое разложение arsh x даётся формулой

Производные[править | править вики-текст]

Для действительных x:

Пример дифференцирования: если θ = arsh x, то:

Комбинация гиперболических и обратных гиперболических функций[править | править вики-текст]

Дополнительные формулы[править | править вики-текст]

См. также[править | править вики-текст]

Источники[править | править вики-текст]

  • Herbert Busemann, Paul J. Kelly (1953) Projective Geometry and Projective Metrics, с. 207, Academic Press.

Ссылки[править | править вики-текст]