Обратные тригонометрические функции

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску

Обра́тные тригонометри́ческие фу́нкции (круговые функции, аркфункции) — математические функции, являющиеся обратными к тригонометрическим функциям. К обратным тригонометрическим функциям обычно относят шесть функций:

  • арксинус (обозначение — это угол, синус которого равен )
  • арккосинус (обозначение:  — это угол, косинус которого равен и т. д.)
  • арктангенс (обозначение: ; в иностранной литературе )
  • арккотангенс (обозначение: ; в иностранной литературе или )
  • арксеканс (обозначение: )
  • арккосеканс (обозначение: ; в иностранной литературе )

Название обратной тригонометрической функции образуется от названия соответствующей ей тригонометрической функции добавлением приставки «арк-» (от лат. arcus — дуга). Это связано с тем, что геометрически значение обратной тригонометрической функции можно связать с длиной дуги единичной окружности (или углом, стягивающим эту дугу), соответствующей тому или иному отрезку. Так, обычный синус позволяет по дуге окружности найти стягивающую её хорду, а обратная функция решает противоположную задачу. Манера обозначать таким образом обратные тригонометрических функции появилась у австрийского математика Карла Шерфера (нем. Karl Scherffer; 1716—1783) и закрепилась благодаря Лагранжу. Впервые специальный символ для обратной тригонометрической функции использовал Даниил Бернулли в 1729 году. Английская и немецкая математические школы до конца XIX века предлагали иные обозначения: , но они не прижились[1]. Лишь изредка в иностранной литературе, также как и в научных/инженерных калькуляторах, пользуются обозначениями типа sin−1, cos−1 для арксинуса, арккосинуса и т. п.[2], — такая запись считается не очень удобной, так как возможна путаница с возведением функции в степень −1.

Тригонометрические функции периодичны, поэтому функции, обратные к ним, многозначны. То есть, значение аркфункции представляет собой множество углов (дуг), для которых соответствующая прямая тригонометрическая функция равна заданному числу. Например, означает множество углов , синус которых равен . Из множества значений каждой аркфункции выделяют её главные значения (см. графики главных значений аркфункций ниже), которые обычно и имеют в виду, говоря об арксинусе, арккосинусе и т. д.

В общем случае при условии все решения уравнения можно представить в виде [3]

Основное соотношение[править | править код]

Функция arcsin[править | править код]

График функции

Аркси́нусом числа x называется такое значение угла y, выраженного в радианах, для которого

Функция непрерывна и ограничена на всей своей области определения. Она является строго возрастающей.

  • при
  • при
  • (область определения),
  • (область значений).

Свойства функции arcsin[править | править код]

  • (функция является нечётной).
  • при .
  • при
  • при

Получение функции arcsin[править | править код]

Дана функция На всей своей области определения она является кусочно-монотонной, и, значит, обратное соответствие функцией не является. Поэтому мы рассмотрим отрезок, на котором она строго возрастает и принимает все значения области значений — . Так как для функции на интервале каждое значение функции достигается при единственном значении аргумента, то на этом отрезке существует обратная функция график которой симметричен графику функции на отрезке относительно прямой (графики взаимно обратных функций симметричны относительно биссектрисы первого и третьего координатных углов координатной плоскости )

Функция arccos[править | править код]

График функции

Аркко́синусом числа x называется такое значение угла y в радианной мере, для которого

Функция непрерывна и ограничена на всей своей области определения. Она является строго убывающей и неотрицательной.

  • при
  • при
  • (область определения),
  • (область значений).

Свойства функции arccos[править | править код]

  • Функция центрально-симметрична относительно точки является индифферентной (ни чётной, ни нечётной).
  • при
  • при

Получение функции arccos[править | править код]

Дана функция На всей своей области определения она является кусочно-монотонной, и, значит, обратное соответствие функцией не является. Поэтому мы рассмотрим отрезок, на котором она строго убывает и принимает все свои значения — На этом отрезке строго монотонно убывает и принимает все свои значения только один раз, а значит, на отрезке существует обратная функция график которой симметричен графику на отрезке относительно прямой

Функция arctg[править | править код]

График функции

Аркта́нгенсом числа x называется такое значение угла выраженное в радианах, для которого

Функция определена на всей числовой прямой, всюду непрерывна и ограничена. Она является строго возрастающей.

  • при
  • при
  • (область определения),
  • (область значений).

Свойства функции arctg[править | править код]

  • (функция является нечётной).
  • , при x > 0.
  • , где  — гиперболический ареатангенс.

Получение функции arctg[править | править код]

Дана функция На всей своей области определения она является кусочно-монотонной, и, значит, обратное соответствие функцией не является (так как нарушается требование однозначности). Поэтому рассмотрим отрезок, на котором она строго возрастает и принимает все свои значения только один раз — На этом отрезке строго монотонно возрастает и принимает все свои значения только один раз, следовательно, на интервале существует обратная , график которой симметричен графику на отрезке относительно прямой

Функция arcctg[править | править код]

График функции

Арккота́нгенсом числа x называется такое значение угла y (в радианной мере измерения углов), для которого

Функция определена на всей числовой прямой, всюду непрерывна и ограничена. Она является строго убывающей и всюду положительной.

  • при
  • при

Свойства функции arcctg[править | править код]

  • График функции центрально-симметричен относительно точки Функция является индифферентной (ни чётной, ни нечётной).
  • при любых

Получение функции arcctg[править | править код]

Дана функция . На всей своей области определения она является кусочно-монотонной, и, значит, обратное соответствие функцией не является. Поэтому рассмотрим промежуток, на котором она строго убывает и принимает все свои значения только один раз — . На этом отрезке строго убывает и принимает все свои значения только один раз, следовательно, на интервале существует обратная функция , график которой симметричен графику на отрезке относительно прямой

График арккотангенса получается из графика арктангенса, если последний отразить относительно оси ординат (то есть заменить знак аргумента, ) и сместить вверх на π/2; это вытекает из вышеупомянутой формулы

Функция arcsec[править | править код]

График функции

Арксе́кансом числа x называется такое значение угла y (в радианной мере измерения углов), для которого

Функция непрерывна и ограничена на всей своей области определения. Она является строго возрастающей и всюду неотрицательной.

  • при
  • при
  • (область определения),
  • (область значений).

Свойства функции arcsec[править | править код]

  • График функции центрально-симметричен относительно точки Функция является индифферентной (ни чётной, ни нечётной).
  • при любых

Функция arccosec[править | править код]

График функции

Арккосе́кансом числа x называется такое значение угла y (в радианной мере измерения углов), для которого

Функция непрерывна и ограничена на всей своей области определения. Она является строго убывающей.

  • при
  • при
  • (область определения),
  • (область значений).

Свойства функции arccosec[править | править код]

  • (функция является нечётной).

Разложение в ряды[править | править код]

Производные от обратных тригонометрических функций[править | править код]

Все обратные тригонометрические функции бесконечно дифференцируемы в каждой точке своей области определения. Первые производные:






Интегралы от обратных тригонометрических функций[править | править код]

Неопределённые интегралы[править | править код]

Для действительных и комплексных x:

Для действительных x ≥ 1:

См. также Список интегралов от обратных тригонометрических функций

Использование в геометрии[править | править код]

Обратные тригонометрические функции используются для вычисления углов треугольника, если известны его стороны, например, с помощью теоремы косинусов.

В прямоугольном треугольнике эти функции от отношений сторон сразу дают угол. Так, если катет длины является противолежащим для угла , то

Связь с натуральным логарифмом[править | править код]

Для вычисления значений обратных тригонометрических функций от комплексного аргумента удобно использовать формулы, выражающие их через натуральный логарифм:

Примечания[править | править код]

  1. Александрова Н. В. История математических терминов, понятий, обозначений: Словарь-справочник, изд. 3-е. — СПб.: ЛКИ, 2008. — С. 211. — ISBN 978-5-382-00839-4.
  2. Здесь знак −1 определяет функцию x = f−1 (y), обратную функции y = f (x)
  3. Энциклопедический словарь, 1985, с. 220.

Ссылки[править | править код]

См. также[править | править код]