Обсуждение:Кольцо (математика)
Статья «Кольцо (математика)» входит в общий для всех языковых разделов Википедии расширенный список необходимых статей. Её развитие вплоть до статуса избранной является важным направлением работы русского раздела Википедии. Вы можете посетить страницу проекта «Мириада», который занимается улучшением наиболее важных статей Википедии, и, при желании, присоединиться к нему. |
Проект «Математика» (уровень III, важность для проекта высшая) Эта статья тематически связана с вики-проектом «Математика», цель которого — создание и улучшение статей по темам, связанным с математикой. Вы можете её отредактировать, а также присоединиться к проекту, принять участие в его обсуждении и поработать над требуемыми статьями. Уровень статьи по шкале оценок проекта: в развитии
Важность статьи для проекта «Математика»: высшая |
disambig[править код]
Вообще-то, кольцо это алгебраическая структура, и потому естественнее было бы видеть не Кольцо (множетсво), а кольцо (алгебра) или что-то типа того. Лучше наверно с математиками посоветоваться. Igorivanov 12:20, 15 Сен 2004 (UTC)
- Да, лучше всего так и сделать.Dodonov 12:23, 15 Сен 2004 (UTC)
Единица в кольце[править код]
Случаем никто не знает почему в Англии (и, видимо, некоторых других странах) в кольцо входит единица? (см. Ring). Впервые наткнулся на это, изучая одну из лучших мат. систем Axiom... -- AL — Эта реплика добавлена с IP 85.192.25.40 (о)
- То есть каждое кольцо считается кольцом с единицей? LoKi 20:40, 4 мая 2006 (UTC)
- Да, точнее оно является еще и моноидом - (R, ·) is a monoid with identity element 1 -- AL
- Мне кажется, Вы немного неправильно понимаете этот пункт. Мне кажется, что (R, ·) — это кольцо, в котором введена лишь 1 бинарная операция («умножение»), а не 2, как собственно в кольце. Таким образом, множество (которые было бы кольцом, будь у него 2 бинарные операции, удовлетворяющие аксиомам) R с умножением является моноидом и содержит единицу. LoKi 09:38, 6 мая 2006 (UTC)
- Да, возможно. Причем Воеводин определяет кольцо как множество с ассоциативным сложением и умножением, а Винберг это требование опускает, благодаря чему пространство векторов трехмерного евклидова пространства у него является кольцом. В общем у всех своя алгебра ;-) -- AL
- Такая вот англоязычная традиция... Просто в большинстве литературы нужно именно ассоциативное кольцо с единицей. Замечу, что, например, И. Херстейн, М. Атья, О. Зарисский под кольцом понимают кольцо без единицы, а Р. Блок различает понятия ассоциативного и неассоциативного кольца. Что касается русскоязычной литературы, А.И. Кострикин, также как и Винберг, не требует от кольца ни ассоциативности, ни наличия единицы, хотя некоторые авторы под термином кольцо понимают ассоциативное кольцо (А.Г. Курош). --laddassm 09:00, 17 октября 2007 (UTC)
Это никакая не традиция, а глупость и невежество авторов Википедии.
Хамы. --Gavroche
Ассоциативность умножения[править код]
Я могу быть не прав, но разве ассоциативность умножения не является аксиомой для кольца? Не просто свойством, которое может выполняться или нет, а именно аксиомой? (Более того, по запросу "ассоциативное кольцо" google возвращает около 700 результатов) gribozavr 23:19, 30 декабря 2007 (UTC)
Кванторы в описании свойств[править код]
Они только мешают восприятию сути свойств. Их надр в начало поставить, как во всех книгах делается. --A_Devyatkov 11:24, 4 августа 2008 (UTC)
Ну некоторые авторы вводят понятие кольца с меньшим количеством свойств, например, кольцо с свойством ассоциативности называют ассоциативным кольцом, с свойством коммутативности комутативным, с единицей - кольцо с единицей.
Повтор[править код]
Иными словами, кольцо — это универсальная алгебра \left(R, +, \times \right), такая что алгебра \left(R, + \right) — абелева группа, алгебра \left(R, \times \right) — полугруппа и операция + дистрибутивна слева и справа относительно \times. Кольцо ассоциативно, если мультипликативный группоид является полугруппой.
нет добавочного смысла во втором предложении: получается, что любое кольцо ассоциативно, тк в первом предложении сказано что мультипликативный группоид - полугруппа, что естественно верно при приведённом в статье определении кольца. Предлагаю удалить либо второе предложение, либо удвлить из определения аксиому ассоциативности (и поэтому из первого предложения исключить кусок "\left(R, \times \right) — полугруппа") 195.98.165.2 00:03, 10 октября 2010 (UTC)Григорий 195.98.165.2 00:14, 10 октября 2010 (UTC)Григорий
Обозначение операции умножения[править код]
Почему в разделе "Простейшие свойства" операция умножения обозначена , а не , как в предыдущих разделах? 195.243.59.150 07:24, 10 октября 2011 (UTC)
- Для упрощения обозначений. В принципе всё равно как обозначать операцию, лишь бы путаницы не было. Крест, точка и просто пропуск символа являются стандартными обозначениями умножения. У меня просто рука не поднялась на определения из первой части, хотя по-хорошему их тоже нужно переписать проще. --Мышонок 14:18, 10 октября 2011 (UTC)
- Понятно, спасибо. Хотя упрощением все же использование разных символов однозначно не является (ИМХО). В контексте этой статьи, быть может, и не трагично. Но я представил себе на секунду, что подобное упрощение встретилось в статье, где упоминались бы скалярное и векторное произведение... 195.243.59.150 14:28, 10 октября 2011 (UTC)
" (операция деления определена не на целых числах, а на рациональных)."[править код]
Что за бред? Что мне мешает в рамках целых чисел делить 20 на 4? --Nashev 11:47, 9 апреля 2013 (UTC)
- Исправил. Danneks 09:55, 26 июля 2013 (UTC)
Этимология и история?[править код]
Откуда взялось название "Кольцо" - кто и когда ввёл, и что имел ввиду? Кто какой вклад внёс в развитие понятия? --Nashev 11:49, 9 апреля 2013 (UTC)
Свойства чисел?[править код]
Говорят (в то числе и в статье:)), что в отличие от чисел в кольцах не всегда есть 1. Первая фраза преамбулы противоречит содержанию статьи. МетаСкептик12 08:57, 9 июня 2014 (UTC)
- Так давайте же спроектируем новую преамбулу) bezik 09:00, 9 июня 2014 (UTC)
- В БЭС сформулировано так: «Кольцо — совокупность элементов, для которых определены операции сложения, вычитания и умножения, обладающие обычными свойствами операций над числами», можно примерно также и начать: «Кольцо — алгебраическая структура, в которой определены операции обратимого сложения и умножения, по свойствам близкие к соответствующим операциям над числами», bezik 09:06, 9 июня 2014 (UTC)
- Сослепу прочитал "обладающие" вместо "обобщающие", но и "обобщающие" как в английском разделе не здорово. Немцы пишут "похожие" и это точнее. Цитирую математический энциклопедический словарь: "КОЛЬЦО-- одно из основных понятий современной алгебры. В различных областях математики часто приходится иметь дело с разнообразными множествами, над элементами которых можно производить две операции, весьма похожие по своим свойствам на сложение и умножение обычных чисел. Предметом теории колец является изучение свойств обширного класса таких множеств." МетаСкептик12 09:35, 9 июня 2014 (UTC)
- По МЭС похоже на то, что у нас в преамбуле статьи Теория колец. Здесь тоже уточнил (по предложенной выше схеме), впрочем, можно как-нибудь ещё усовершенствовать, первое предложение — дело особой важности, bezik 09:57, 9 июня 2014 (UTC)
- Сослепу прочитал "обладающие" вместо "обобщающие", но и "обобщающие" как в английском разделе не здорово. Немцы пишут "похожие" и это точнее. Цитирую математический энциклопедический словарь: "КОЛЬЦО-- одно из основных понятий современной алгебры. В различных областях математики часто приходится иметь дело с разнообразными множествами, над элементами которых можно производить две операции, весьма похожие по своим свойствам на сложение и умножение обычных чисел. Предметом теории колец является изучение свойств обширного класса таких множеств." МетаСкептик12 09:35, 9 июня 2014 (UTC)
Объяснение простыми словами[править код]
GPT-4, в ответ на просьбу объяснить простыми словами, что такое кольцо в математике, написал следующее:
Кольцо в математике - это как игра, в которой есть определённые правила, что ты можешь делать с числами. Это как специальный клуб, где все числа учатся играть по этим правилам.
Вот основные правила этой игры:
1. Вы можете складывать любые два числа в клубе, и результат всегда будет также числом из этого клуба. Это называется замкнутостью по сложению.
2. Вы можете умножить любые два числа в клубе, и результат также будет числом из этого клуба. Это называется замкнутостью по умножению.
3. Есть такое особенное число, которое называется "нейтральным элементом сложения". Если вы сложите это число с любым другим числом в клубе, результат будет тем же самым числом. В настоящих числах, это число - ноль.
4. Каждое число в клубе имеет "противоположное" число. Если вы сложите число и его противоположное, вы получите нейтральный элемент сложения. Например, в настоящих числах, противоположное для 3 это -3, потому что если вы сложите их, получите ноль.
5. Есть также особое число, которое называется "нейтральным элементом умножения". Если вы умножите это число на любое другое число в клубе, результат будет тем же самым числом. В настоящих числах, это число - один.
6. И последнее правило - это когда вы умножаете числа, не важно, в каком порядке вы их умножаете или складываете, результат будет одинаковым. Например, если у вас есть три числа и вы хотите сложить или умножить их все вместе, вы можете сначала сложить или умножить первые два, а потом результат сложить или умножить с третьим, или сначала сложить или умножить последние два, а потом результат сложить или умножить с первым, и результат будет одинаковым. Это называется ассоциативностью.
Это, в общем-то, и есть все основные правила игры! Если все числа в клубе следуют этим правилам, то этот клуб называется кольцом в математике.