Овал Кассини

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску
Овалы Кассини (a=0.6c, 0.8c, c, 1.2c, 1.4c, 1.6c)

Овал Кассини — кривая, являющаяся геометрическим местом точек, произведение расстояний от которых до двух заданных точек (фокусов) постоянно и равно квадрату некоторого числа .

Частным случаем овала Кассини при фокусном расстоянии, равном , является лемниската Бернулли.

Кривая была придумана астрономом Джованни Кассини. Он ошибочно считал, что она точнее определяет орбиту Земли, чем эллипс[1]. Хотя эту линию называют овалом Кассини, она не всегда овальна (см. ниже — Особенности формы).

Вариации (другие случаи)[править | править код]

Кривая постоянной суммы расстояний до двух заданных точек — эллипс, постоянного отношения — окружность Аполлония, постоянной разности — гипербола.

Уравнения[править | править код]

Расстояние между фокусами .

  • Явное уравнение в прямоугольных координатах:

Особенности формы[править | править код]

Меняется параметр
Меняется параметр

В уравнении кривой содержатся два независимых параметра:  — половина расстояния между фокусами и  — корень квадратный из произведения расстояний от фокусов до любой точки кривой. С точки зрения формы наиболее существенно отношение параметров, а не их величины, которые при неизменном отношении определяют лишь размер фигуры. Можно выделить шесть разновидностей формы в зависимости от величины отношения :

  • , то есть при .
Кривая вырождается в две точки, которые совпадают с фокусами. При форма кривой стремится к двум точкам.
  • , то есть
Кривая распадается на два отдельных овала, каждый из которых вытянут в направлении другого и по форме напоминает яйцо.
  • , то есть
Правая часть уравнения в прямоугольных координатах (см. выше) обращается в ноль, и кривая становится лемнискатой Бернулли.
  • , то есть
У кривой появляются четыре симметричные точки перегиба (по одной в каждой координатной четверти). Кривизна в точках пересечения с осью стремится к нулю, когда стремится к и к бесконечности, когда стремится к .
  • , то есть
Кривая становится овалом, то есть выпуклой замкнутой кривой.
  • , то есть при
По мере увеличения (то есть стремления отношения к нулю) кривая стремится к окружности радиуса . Если , то отношение достигает нуля, и в этом случае кривая вырождается в окружность.

Свойства[править | править код]

Чёрная окружность — множество максимумов и минимумов; синяя лемниската — множество точек перегиба
  • Овал Кассини — алгебраическая кривая четвёртого порядка.
  • Она симметрична относительно середины отрезка между фокусами.
  • При имеет два абсолютных максимума и два минимума:
Геометрическое место точек абсолютных максимумов и минимумов — окружность радиуса с центром в середине отрезка между фокусами.
  • При кривая имеет четыре точки перегиба. Их полярные координаты:
Геометрическое место точек перегиба — лемниската с вершинами .

Применение[править | править код]

При двухпозиционной радиолокации областью обнаружения цели является фигура, ограниченная овалом Кассини, если принять в качестве одного его фокуса позицию источника излучения, а другого — позицию приёмника. Аналогично, в астрономии при наблюдении, например, астероидов, светящих отражённым светом Солнца, условия их обнаружения при заданной чувствительности телескопа описываются формулой овала Кассини. В этом случае границей обнаружимости будет поверхность, образованная вращением овала вокруг оси, соединяющей Солнце и наблюдателя.

Овалы Кассини на торе (тороиде)[править | править код]

Овалы Кассини (синие) как плоские сечения тора
(на правой стороне от оси тора)

Овалы Кассини появляются как плоские сечения тора, но только тогда, когда секущая плоскость параллельна оси тора, а ее расстояние до оси равна радиусу образующей окружности (см. рисунок).

Обобщения[править | править код]

В частности, уравнение кривой Персея в декартовой системе координат

.

при переходит в уравнение овала Кассини

См. также[править | править код]

Литература[править | править код]

Примечания[править | править код]