Ограниченный оператор
Перейти к навигации
Перейти к поиску
Оператор называется ограниченным, если каждое ограниченное множество исходного топологического векторного пространства он переводит в ограниченное множество топологического векторного пространства .[1]
Приведённое выше определение относится как к линейным, так и к нелинейным операторам.
Линейный ограниченный оператор
[править | править код]Определения
[править | править код]Для линейного оператора часто приводят другие определения:[1]
- Будем называть линейный оператор ограниченным, если существует такая окрестность нуля , что является ограниченным множеством в .
- Будем называть линейный оператор в нормированном пространстве ограниченным, если существует такое положительное число , что . Наименьшее из таких чисел обозначают через и называют нормой оператора . Иными словами,
Свойства в F-пространствах
[править | править код]Замечание: Частным случаем F-пространства является пространство Банаха.
- Справедлива теорема о том, что линейный ограниченный оператор, действующий из одного F-пространства в другое является непрерывным.[2]
- Обратно (Теорема Банаха), всякий непрерывный оператор является ограниченным.[1][2]
Поэтому для дополнительных свойств таких операторов смотрите статью Линейный непрерывный оператор.
Литература
[править | править код]- ↑ 1 2 3 Математическая энциклопедия / Виноградов И.М.. — М.: Сов. энциклопедия, 1977. — Т. 3.
- ↑ 1 2 Данфорд Н., Шварц Дж. Линейные операторы. — М.: ИЛ, 1962. — Т. 1. Общая теория. — С. 66-67.