Одночлен

Одночле́н (устаревшее: моно́м) — алгебраическое выражение, представляющее собой произведение числового множителя (коэффициента) и степеней переменных с положительными целыми показателями.

Степень одночлена — сумма показателей степеней всех входящих в него переменных.

Отдельное число, отличное от нуля, считается одночленом нулевой степени. Степень нулевого одночлена (нуля) не определена (часть источников приписывает ему степень –$\infty$).

Примеры:

$-7$	$x^{2}$	$c^{3}xy$	$-a$	$5ax^{3}$

Если коэффициент одночлена не задан (например, в одночлене $x^{2}$), он считается равным $1$ или $-1$, в зависимости от знака перед одночленом.

Не являются одночленами выражения: $a+b;\ {\frac {a-b}{c}}.$

История

Первым ввёл понятие одночленов $x,x^{2},x^{3},...$ и $1/x,1/x^{2},1/x^{3},...$, а также дал правила их произведения, аббасидский математик аль-Караджи (953—1029). Его достижение заключалось в том, что он определил произведение этих членов без ссылок на геометрию. Его последователь Самуил Марокканский (1130—1180) ввёл определения $x^{0}=1$ и $x^{-n}=1/x^{n}$, а также описал их арифметику, включая правило умножения степеней $x^{n}x^{m}=x^{n+m}$ для целых $n$ и $m$.

Свойства

• Произведение любых одночленов даёт одночлен. При этом коэффициенты перемножаются, а показатели степеней у одинаковых переменных складываются.

Пример: $3ab\cdot (2{,}5a^{3}c)=7{,}5a^{4}bc.$

• Как следствие, возведение одночлена в натуральную степень также даёт одночлен.

Одночлены называются подобными, если их буквенные части полностью совпадают. При сложении или вычитании подобных одночленов получается одночлен, подобный исходным (либо нуль); его коэффициент равен соответственно сумме или разности коэффициентов исходных одночленов.

Одночлен — частный случай многочлена. Алгебраическая сумма неподобных одночленов даёт многочлен в общем виде; это позволяет рассматривать многочлен как сумму одночленов.

Степень многочлена — наибольшая из степеней входящих в него одночленов.

Вариации и обобщения

В некоторых источниках рассматриваются одночлены, содержащие отрицательные степени переменных; они применяются, в частности, в теории рядов Лорана. Аналогично в теории рядов Пюизё рассматриваются одночлены с рациональными степенями.

Коэффициенты одночлена могут быть не только числами, но и элементами произвольного коммутативного кольца. Множество одночленов над заданным кольцом образует коммутативную полугруппу с единицей.

См. также

• Многочлен

Литература

• Гусев В. А., Мордкович А. Г. Математика: учебно-справочное пособие. — М.: Астрель, 2013. — 671 с. — (Справочник школьника). — ISBN 978-5-271-07165-2.
• Ленг С. Алгебра. — М.: Мир, 1968. — С. 138—139. — 564 с.

Ссылки

• Monomial Архивная копия от 19 октября 2021 на Wayback Machine. Encyclopedia of Mathematics.