Окрестность

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску
У этого термина существуют и другие значения, см. Окрестность (значения).
На плоскости подмножество является окрестностью точки , если вокруг точки можно нарисовать небольшой диск, который будет целиком содержаться в .
Прямоугольник не может являться окрестностью своих вершин.

Окре́стность точки — множество, содержащее данную точку, и близкие (в каком-либо смысле) к ней. В разных разделах математики это понятие определяется по-разному.

Определения[править | править код]

Математический анализ[править | править код]

Основная статья: ε-окрестность

Пусть произвольное фиксированное число.

Окрестностью точки на числовой прямой (иногда говорят -окрестностью) называется множество точек, удаленных от менее чем на , то есть .

В многомерном случае функцию окрестности выполняет открытый -шар с центром в точке .

В банаховом пространстве окрестностью с центром в точке называют множество .

В метрическом пространстве окрестностью с центром в точке называют множество .

Общая топология[править | править код]

Пусть задано топологическое пространство , где  — произвольное множество, а  — определённая на топология.

  • Множество называется окрестностью точки , если существует открытое множество такое, что .
  • Аналогично окрестностью множества называется такое множество , что существует открытое множество , для которого выполнено .

Свойства[править | править код]

Совокупность всех окрестностей точки в топологическом пространстве обладает следующими свойствами (здесь — множества в топологическом пространстве, — точка в топологическом пространстве):[1]

  1. .
  2. если и , то .
  3. пересечение конечного числа окрестностей из принадлежит .
  4. такое, что и для всех .

Совокупность только открытых окрестностей обладает следующими свойствами:

  1. .
  2. если , , то .
  3. если и , то , .

Замечания[править | править код]

  • Приведённые выше определения не требуют, чтобы окрестность была открытым множеством, но лишь чтобы она содержала открытое множество . Некоторые авторы настаивают на том, что любая окрестность открыта.[2] Тогда окрестностью множества называется любое содержащее его открытое множество. Это не принципиальное для развития дальнейшей топологической теории различие. Однако в каждом случае важно фиксировать терминологию.
  • Окрестностью множества точек называется такое множество , что есть окрестность любой точки .
  • Некоторые авторы разграничивают понятия окрестности точки на прямой или в евклидовом пространстве и ε-окрестности. Окрестностью точки на прямой они называют любой интервал, содержащий эту точку.[1][3], а окрестностью точки в евклидовом пространстве они называют произвольное открытое множество евклидова пространства, содержащее эту точку.[4]

Пример[править | править код]

Пусть дана вещественная прямая со стандартной топологией. Тогда является открытой окрестностью, а  — замкнутой окрестностью точки .

Вариации и обобщения[править | править код]

Проколотая окрестность[править | править код]

Проколотой окрестностью точки называется окрестность точки, из которой исключена эта точка.

Строго говоря, проколотая окрестность не является окрестностью точки, так как согласно определению окрестности окрестность должна включать и саму точку.

Формальное определение: Множество называется проколотой окрестностью (вы́колотой окрестностью) точки , если

где  — окрестность .

См. также[править | править код]

Примечания[править | править код]

  1. 1 2 Окрестность // Математический энциклопедический словарь / гл. ред. Ю. В. Прохоров. — М., Советская энциклопедия, 1988. — с. 430
  2. Рудин, 1975, с. 13.
  3. Хинчин А. Я. Восемь лекций по математическому анализу. — М., Л., Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1948. — с. 33
  4. Воднев В. Г., Наумович А. Ф., Наумович Н. Ф. Математический словарь высшей школы. - М., МПИ, 1988. - с. 278

Литература[править | править код]