Октаэдр

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
Октаэдр
Октаэдр
Тип Правильный многогранник
Грань треугольник
Граней 8\,\!
Рёбер 12\,\!
Вершин 6\,\!
Граней при вершине 4\,\!
Телесный угол
при вершине
2\arccos\frac{7}{9}
 \approx 1.3593476 ср
Точечная группа
симметрии
Октаэдрическая (Oh)
Двойственный
многогранник
Куб
Развёртка
Описанная сфера октаэдра

Октаэдр (греч. οκτάεδρον, от греч. οκτώ, «восемь» и греч. έδρα — «основание») — многогранник с восемью гранями. Правильный октаэдр является одним из пяти выпуклых правильных многогранников[1], так называемых Платоновых тел; грани правильного октаэдра — восемь равносторонних треугольников.

Правильный октаэдр двойственен кубу. Он является полным усечением тетраэдра. Правильный октаэдр является квадратной бипирамидой в любом из трёх ортогональных направлений. Он также является треугольной антипризмой в любом из четырёх направлений.

Октаэдр — трёхмерный вариант более общего понятия гипероктаэдр.

Правильный октаэдр является трёхмерным шаром в метрике городских кварталов.

Правильный октаэдр[править | править вики-текст]

Правильный октаэдр имеет 8 треугольных граней, 12 рёбер, 6 вершин, в каждой его вершине сходятся 4 ребра.

Размеры[править | править вики-текст]

Если длина ребра октаэдра равна а, то радиус сферы, описанной вокруг октаэдра, равен:

r_u = \frac{a}{2} \sqrt{2} \approx 0.7071067 \cdot a ,

радиус вписанной в октаэдр сферы может быть вычислен по формуле:

r_i = \frac{a}{6} \sqrt{6}\approx 0.4082482\cdot a .

двугранный угол: \alpha = 2\phi \approx 109,47^\circ, где \phi = arccos(\frac{\sqrt3}{3}).

Радиус полувписанной сферы[en], которая касается всех рёбер, равен

r_m = \frac{a}{2} = 0.5\cdot a

Ортогональные проекции[править | править вики-текст]

Октаэдр имеет четыре специальные ортогональных проекции, центрированные ребром, вершиной, гранью и нормалью к грани. Второй и третий случай соответствуют плоскостям Коксетера B2 и A2.

Ортогональные проекции
Центрированы Ребром Нормалью
к грани
Вершиной Гранью
Образ Cube t2 e.png Cube t2 fb.png 3-cube t2 B2.svg 3-cube t2.svg
Проективная
симметрия
[2] [2] [4] [6]

Сферическая мозаика[править | править вики-текст]

Октаэдр можно представить как сферическую мозаику и спроецировать на плоскость с помощью стереографической проекции. Эта проекция конформна, сохраняет углы, но не длины и площадь. Отрезки на сфере отображаются в дуги окружностей на плоскости.

Uniform tiling 432-t2.png Octahedron stereographic projection.png
треугольно-центрированная
Ортогональная проекция Стереографическая проекция

Декартовы координаты[править | править вики-текст]

Октаэдр с длиной ребра \sqrt{2} может быть помещён в начало координат, так что его вершины будут лежать на осях координат. Декартовы координаты вершин тогда будут

(±1, 0, 0);
(0, ±1, 0);
(0, 0, ±1).

В x-y-z прямоугольной системе координат октаэдр с центром с точке (a, b, c) и радиусом r — это множество всех точек (x, y, z), таких, что

\left|x - a\right| + \left|y - b\right| + \left|z - c\right| = r.

Площадь и объём[править | править вики-текст]

Площадь полной поверхности правильного октаэдра с длиной ребра a равна

S=2a^2\sqrt{3} \approx 3.46410162a^2

Объём октаэдра (V) вычисляется по формуле:

V=\begin{matrix}{1\over3}\end{matrix}\sqrt{2}a^3 \approx 0.471404521a^3

Таким образом, объём октаэдра в четыре раза больше объёма тетраэдра с той же длиной ребра, в то время как площадь поверхности вдвое больше (поскольку поверхность состоит из 8 треугольников, а у тетраэдра — из четырёх).

Если октаэдр растянуть, чтобы выполнялось равенство:

\left|\frac{x}{x_m}\right|+\left|\frac{y}{y_m}\right|+\left|\frac{z}{z_m}\right| = 1,

формулы для поверхности и объёма превращаются в:

A=4 \, x_m \, y_m \, z_m \times \sqrt{\frac{1}{x_m^2}+\frac{1}{y_m^2}+\frac{1}{z_m^2}}
V=\frac{4}{3}\,x_m\,y_m\,z_m

Кроме того, тензор моментов инерции растянутого октаэдра будет равен:


I =
\begin{bmatrix}
  \frac{1}{10} m (y_m^2+z_m^2) & 0 & 0 \\
  0 & \frac{1}{10} m (x_m^2+z_m^2) & 0 \\ 
  0 & 0 & \frac{1}{10} m (x_m^2+y_m^2)
\end{bmatrix}

Он сводится к уравнению для правильного октаэдра, когда:x_m=y_m=z_m=a\,\frac{\sqrt{2}}{2}

Геометрические связи[править | править вики-текст]

Октаэдр представляетс собой пересечение двух тетраэдров

Внутренняя (общая) часть конфигурации из двух двойственных тетраэдров является октаэдром, а сама эта конфигурация называется звёздчатым октаэдром (лат.: stella octangula). Конфигурация является единственной звёздчатой формой октаэдра. Соответственно, правильный октаэдр является результатом отсечения от правильного тетраэдра четырёх правильных тетраэдров с половиной длины ребра (то есть полного усечения[en] тетраэдра). Вершины октаэдра лежат на серединах рёбер тетраэдра и октаэдр связан с тетраэдром тем же образом, как кубооктаэдр и икосододекаэдр связаны с остальными платоновыми телами. Можно разделить рёбра октаэдра в отношении золотого сечения для определения вершин икосаэдра. Для этого следует расположить вектора на рёбрах, так, чтобы все грани были окружены циклами. Затем делим каждое ребро в золотом отношении вдоль векторов. Полученные точки являются вершинами икосаэдра.

Октаэдры и тетраэдры[en] можно чередовать, чтобы построить однородные относительно вершин, рёбер и граней соты, которые Фуллер назвал октетной связкой[en]. Это единственные соты, позволяющие регулярную укладку в кубе, и они являются одним из 28 видов выпуклых однородных сот[en].

Октаэдр уникален среди платоновых тел в том, что только он имеет чётное число граней при каждой вершине. Кроме того, это единственный член этой группы, который имеет плоскости симметрии, не пересекающие ни одну грань.

Если использовать стандартную терминологию многогранников Джонсона, октаэдр можно назвать квадратной бипирамидой. Усечение двух противоположных вершин приводит к усечённой бипирамиде[en].

Октаэдр является 4-связным. Это значит, что нужно удалить четыре вершины, чтобы разъединить оставшиеся. Это один из всего лишь четырёх 4-связных симплициальных[en] хорошо покрытых многогранников, что означает, что все наибольшие независимые множества вершин имеют один и тот же размер. Другие три многогранника с этим свойством — пятиугольная бипирамида[en], плосконосый равногранный тетраэдр[en] и нерегулярный многогранник с 12 вершинами и 20 треугольными гранями [2].

  • Октаэдр можно вписать в тетраэдр, притом четыре из восьми граней октаэдра будут совмещены с четырьмя гранями тетраэдра, все шесть вершин октаэдра будут совмещены с центрами шести ребер тетраэдра.
  • Октаэдр можно вписать в куб, притом все шесть вершин октаэдра будут совмещены с центрами шести граней куба.
  • В октаэдр можно вписать куб, притом все восемь вершин куба будут расположены в центрах восьми граней октаэдра.

Однородное раскрашивание и симметрия[править | править вики-текст]

Имеется 3 однородных раскрашивания[en] октаэдра, названных по их цветам граней: 1212, 1112, 1111.

Группой симметрии октаэдра является Oh с порядком 48, трёхмерная гипероктаэдральная группа[en]. В подгруппы этой группы входят D3d (порядка 12), группа симметрии треугольной антипризмы, D4h (порядка 16), группа симметрии квадратной бипирамиды, и Td (порядка 24), группа симметрии полностью усечённого тетраэдра. Эти симметрии можно подчеркнуть путём различного раскрашивания граней.

Название Октаэдр Полностью
усечённый

тетраэдр
(Тетратетраэдр)
Треугольная антипризма Квадратная бипирамида Ромбическая бипирамида
Рисунок
(Раскраска граней)
Uniform polyhedron-43-t2.png
(1111)
Uniform polyhedron-33-t1.png
(1212)
Trigonal antiprism.png
(1112)
Square bipyramid.png
(1111)
Rhombic bipyramid.png
(1111)
Диаграмма Коксетера CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node.png CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 4.pngCDel node h0.png = CDel node 1.pngCDel split1.pngCDel nodes.png CDel node h.pngCDel 2x.pngCDel node h.pngCDel 6.pngCDel node.png
CDel node h.pngCDel 2x.pngCDel node h.pngCDel 3.pngCDel node h.png
CDel node f1.pngCDel 2x.pngCDel node f1.pngCDel 4.pngCDel node.png CDel node f1.pngCDel 2x.pngCDel node f1.pngCDel 2x.pngCDel node f1.png
Символ Шлефли {3,4} r{3,3} s{2,6}
sr{2,3}
ft{2,4}
{ } + {4}
ftr{2,2}
{ } + { } + { }
Символ Визоффа[en] 4 | 3 2 2 | 4 3 2 | 6 2
| 2 3 2
Симметрия[en] Oh, [4,3], (*432) Td, [3,3], (*332) D3d, [2+,6], (2*3)
D3, [2,3]+, (322)
D4h, [2,4], (*422) D2h, [2,2], (*222)
Порядок 48 24 12
6
16 8

Развёртки[править | править вики-текст]

Существует одиннадцать вариантов развёртки октаэдра[3].

Двойственность[править | править вики-текст]

Октаэдр двойственен кубу.

Dual Cube-Octahedron.svg

Огранка[править | править вики-текст]

Однородный тетрагемигексаэдр является огранкой[en] с тетраэдральной симметрией правильного октаэдра, сохраняющая расположение рёбер[en] и вершин[en]. Огранка имеет четыре треугольных грани и 3 центральных квадрата.

Uniform polyhedron-33-t1.png
Октаэдр
Tetrahemihexahedron.png
тетрагемигексаэдр

Неправильные октаэдры[править | править вики-текст]

Следующие многогранники комбинаторно эквивалентны правильному октаэдру. Они все имеют шесть вершин, восемь треугольных граней и двенадцать рёбер, что соответствует один к одному параметрам правильного октаэдра.

  • Треугольные антипризмы — две грани представляют собой равносторонние треугольники, лежащие в параллельных плоскостях и имеющие общую ось симметрии. Остальные шесть треугольников равнобедренные.
  • Четырёхугольные бипирамиды, в которых по меньшей мере один экваториальный четырёхугольник лежит в плоскости. Правильный октаэдр является специальным случаем, когда все три четырёхугольника являются плоскими квадратами.
  • Многогранник Шёнхардта, невыпуклый многогранник, который нельзя разбить на тетраэдры без введения новых вершин.

Другие выпуклые восьмигранники[править | править вики-текст]

Шестиугольная
призма
Усечённый
тетраэдр
Четырёхугольный
трапецоэдр

В общем случае, октаэдром может называться любой многогранник с восемью гранями. Правильный октаэдр имеет 6 вершин и 12 рёбер, минимальное число для октаэдра. Неправильные восьмигранники могут иметь до 12 вершин и 18 рёбер[3][4]. Существует 257 топологически различных выпуклых восьмигранников, исключая зеркальные копии[3]. В частности, имеется 2, 11, 42, 74, 76, 38, 14 восьмигранников с числом вершин от 6 до 12 соответственно[5][6]. (Два многогранника «топологически различны», если они имеют внутренне различное расположение граней и вершин, так что нет возможности преобразовать одно тело в другое просто изменением длины рёбер или углов между рёбрами или гранями.)

Некоторые известные неправильные восьмигранники:

  • Шестиугольная призма: Две грани являются параллельными правильными шестиугольниками, шесть квадратов соединяют соответствующие пары сторон шестиугольников.
  • Семиугольная пирамида: Одна грань является семиугольником (обычно правильным), а оставшиеся семь граней являются треугольниками (обычно равнобедренными). Невозможно добиться, чтобы все треугольные грани были равносторонними.
  • Усечённый тетраэдр: Четыре грани тетраэдра усекаются до правильных шестиугольников и образуются три дополнительные равносторонние треугольные грани на месте отсечённых вершин.
  • Четырёхугольный трапецоэдр[en]: Восемь граней конгруэнтны дельтоидам.

Октаэдры в физическом мире[править | править вики-текст]

Октаэдры в природе[править | править вики-текст]

Октаэдр флюорита.

Октаэдры в искусстве и культуре[править | править вики-текст]

Две одинаково сложенные змейки Рубика могут аппроксимировать октаэдр.
  • В играх игральная кость в виде октаэдра известна как «d8».
  • Если каждое ребро октаэдра заменить одноомным резистором, общее сопротивление между противоположными вершинами будет составлять 1/2 ома, а между смежными вершинами — 5/12 ома[7].
  • Шесть музыкальных нот можно расположить на вершинах октаэдра так, что каждое ребро представляет созвучную пару, а каждая грань — созвучную тройку.

Тетраэдральная связка[править | править вики-текст]

Каркас из повторяющихся тетраэдров и октаэдров изобретён Фуллером в 1950-ых и он известен как пространственная рама[en] и считается прочнейшей структурой, сопротивляющейся напряжениям консольной балки.

Связанные многогранники[править | править вики-текст]

Правильный октаэдр можно увеличить до тетраэдра добавлением четырёх тетраэдров на чередующиеся грани. Добавление тетраэдров ко всем восьми граням образует звёздчатый октаэдр.

Triangulated tetrahedron.png Compound of two tetrahedra.png
тетраэдр звёздчатый октаэдр

Октаэдр принадлежит семейству однородных многогранников, связанных с кубом.

Однородные октаэдральные многогранники
Симметрия: [4,3], (*432) [4,3]+, (432) [3+,4], (3*2)
Uniform polyhedron-43-t0.svg Uniform polyhedron-43-t01.svg Uniform polyhedron-43-t1.svg Uniform polyhedron-43-t12.svg Uniform polyhedron-43-t2.svg Uniform polyhedron-43-t02.png Uniform polyhedron-43-t012.png Uniform polyhedron-43-s012.png Uniform polyhedron-43-h01.svg
CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.png CDel node.pngCDel 4.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.png CDel node.pngCDel 4.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.png CDel node.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.png CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.png CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.png CDel node h.pngCDel 4.pngCDel node h.pngCDel 3.pngCDel node h.png CDel node h.pngCDel 3.pngCDel node h.pngCDel 4.pngCDel node.png
{4,3} t{4,3} r{4,3} t{3,4} {3,4} rr{4,3} tr{4,3} sr{4,3} s{3,4}
Двойственные многогранники
Octahedron.svg Triakisoctahedron.jpg Rhombicdodecahedron.jpg Tetrakishexahedron.jpg Hexahedron.svg Deltoidalicositetrahedron.jpg Disdyakisdodecahedron.jpg Pentagonalicositetrahedronccw.jpg Dodecahedron.svg
V43 V3.82 V(3.4)2 V4.62 V34 V3.43 V4.6.8 V34.4 V35

Он также является одним из простейших примеров гиперсимплекса[en], многогранника, образованного определённым пересечением гиперкуба с гиперплоскостью.

Октаэдр входит в последовательность многогранников с символом Шлефли {3,n}, продолжающейся на гиперболическую плоскость[en].

*n32 симметрии правильных мозаик: 3n or {3,n}
Сферическая Евклидова Компактная гипербол. Пара-
комактная.
Некомпактная гиперболическая
Trigonal dihedron.png Uniform tiling 332-t2.png Uniform tiling 432-t2.png Uniform tiling 532-t2.png Uniform polyhedron-63-t2.png H2 tiling 237-4.png H2 tiling 238-4.png H2 tiling 23i-4.png H2 tiling 23j12-4.png H2 tiling 23j9-4.png H2 tiling 23j6-4.png H2 tiling 23j3-4.png
3.3 33 34 35 36 37 38 3 312i 39i 36i 33i

Тетратетраэдр[править | править вики-текст]

Правильный октаэдр можно рассматривать как полностью усечённый тетраэдр и может быть назван тетратетраэдром. Это можно показать с помощью раскрашенной в два цвета модели. При этом раскрашивании октаэдр имеет тетраэдральную симметрию.

Сравнение последовательности усечения тетраэдра и его двойственной фигуры:

Семейство однородных тетраэдральных многогранников[en]
Симметрия[en]: [3,3], (*332) [3,3]+, (332)
Uniform polyhedron-33-t0.png Uniform polyhedron-33-t01.png Uniform polyhedron-33-t1.png Uniform polyhedron-33-t12.png Uniform polyhedron-33-t2.png Uniform polyhedron-33-t02.png Uniform polyhedron-33-t012.png Uniform polyhedron-33-s012.png
CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.png CDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.png CDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.png CDel node.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.png CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node 1.png CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.png CDel node h.pngCDel 3.pngCDel node h.pngCDel 3.pngCDel node h.png
{3,3} t{3,3} r{3,3} t{3,3} {3,3} rr{3,3} tr{3,3} sr{3,3}
Двойственные многогранники
Tetrahedron.svg Triakistetrahedron.jpg Hexahedron.svg Triakistetrahedron.jpg Tetrahedron.svg Rhombicdodecahedron.jpg Tetrakishexahedron.jpg Dodecahedron.svg
V3.3.3 V3.6.6 V3.3.3.3 V3.6.6 V3.3.3 V3.4.3.4 V4.6.6 V3.3.3.3.3

Вышеприведённые тела можно понимать как срезы, ортогональные к длинной диагонали тессеракта. Если расположить эту диагональ вертикально с высотой 1, то первые пять сечений сверху будут на высотах r, 3/8, 1/2, 5/8 и s, где r — любое число в интервале (0,1/4], а s — любое число в интервале [3/4,1).

Октаэдр в качестве тетратетраэдра существует в последовательности симметрий квазиправильных многогранников и мозаик с конфигурацией вершин[en] (3.n)2, проходя от мозаик на сфере к евклидовой плоскости, а затем в гиперболическую плоскость. В орбифолдной нотации[en] симметрии *n32 все эти мозаики являются построениями Визоффа внутри фундаментальной области симметрии с генерирующими точками на прямом угле области[8][9].

*n32 орбифолдные симметрии квазирегулярных мозаик: (3.n)2
Quasiregular fundamental domain.png
Построение
Сферическая Евклидова Гиперболическая
*332 *432 *532 *632 *732 *832... *∞32
Квазирегулярные
фигуры
Uniform tiling 332-t1-1-.png Uniform tiling 432-t1.png Uniform tiling 532-t1.png Uniform tiling 63-t1.png H2 tiling 237-2.png H2 tiling 238-2.png H2 tiling 23i-2.png
Вершина (3.3)2 (3.4)2 (3.5)2 (3.6)2 (3.7)2 (3.8)2 (3.∞)2

Треугольная антипризма[править | править вики-текст]

В качестве треугольной антипризмы октаэдр связан с семейством шестиугольной диэдральной симметрии.

Однородные шестиугольные диэдральные сферические многогранники
Симметрия[en]|: [6,2], (*622) [6,2]+, (622) [6,2+], (2*3)
Hexagonal dihedron.png Dodecagonal dihedron.png Hexagonal dihedron.png Spherical hexagonal prism.png Spherical hexagonal hosohedron.png Spherical truncated trigonal prism.png Spherical dodecagonal prism2.png Spherical hexagonal antiprism.png Spherical trigonal antiprism.png
CDel node 1.pngCDel 6.pngCDel node.pngCDel 2.pngCDel node.png CDel node 1.pngCDel 6.pngCDel node 1.pngCDel 2.pngCDel node.png CDel node.pngCDel 6.pngCDel node 1.pngCDel 2.pngCDel node.png CDel node.pngCDel 6.pngCDel node 1.pngCDel 2.pngCDel node 1.png CDel node.pngCDel 6.pngCDel node.pngCDel 2.pngCDel node 1.png CDel node 1.pngCDel 6.pngCDel node.pngCDel 2.pngCDel node 1.png CDel node 1.pngCDel 6.pngCDel node 1.pngCDel 2.pngCDel node 1.png CDel node h.pngCDel 6.pngCDel node h.pngCDel 2x.pngCDel node h.png CDel node.pngCDel 6.pngCDel node h.pngCDel 2x.pngCDel node h.png
{6,2} t{6,2} r{6,2} t{2,6} {2,6} rr{2,6} tr{6,2}[en] sr{6,2} s{2,6}
Двойственные им многогранники
Spherical hexagonal hosohedron.png Spherical dodecagonal hosohedron.png Spherical hexagonal hosohedron.png Spherical hexagonal bipyramid.png Hexagonal dihedron.png Spherical hexagonal bipyramid.png Spherical dodecagonal bipyramid.png Spherical hexagonal trapezohedron.png Spherical trigonal trapezohedron.png
V62 V122 V62 V4.4.6[en] V26 V4.4.6[en] V4.4.12 V3.3.3.6[en] V3.3.3.3
Семейство однородных антипризм n.3.3.3
Многогранник Digonal antiprism.png Trigonal antiprism.png Square antiprism.png Pentagonal antiprism.png Hexagonal antiprism.png Antiprism 7.png Octagonal antiprism.png Enneagonal antiprism.png Decagonal antiprism.png Hendecagonal antiprism.png Dodecagonal antiprism.png
Мозаика Spherical digonal antiprism.png Spherical trigonal antiprism.png Spherical square antiprism.png Spherical pentagonal antiprism.png Spherical hexagonal antiprism.png Spherical heptagonal antiprism.png Spherical octagonal antiprism.png Infinite antiprism.png
Конфигурация V2.3.3.3 3.3.3.3 4.3.3.3 5.3.3.3 6.3.3.3 7.3.3.3 8.3.3.3 9.3.3.3 10.3.3.3 11.3.3.3 12.3.3.3 ...∞.3.3.3

Квадратная бипирамида[править | править вики-текст]

Семейство бипирамид
Многогранник Triangular bipyramid.png Square bipyramid.png Pentagonale bipiramide.png Hexagonale bipiramide.png Heptagonal bipyramid.png Octagonal bipyramid.png Enneagonal bipyramid.png Decagonal bipyramid.png
Мозаика Spherical digonal bipyramid.png Spherical trigonal bipyramid.png Spherical square bipyramid.png Spherical pentagonal bipyramid.png Spherical hexagonal bipyramid.png Spherical heptagonal bipyramid.png Spherical octagonal bipyramid.png Spherical enneagonal bipyramid.png Spherical decagonal bipyramid.png E2 tiling 22i-2 dual.png
Конфигурация[en] V2.4.4 V3.4.4 V4.4.4 V5.4.4 V6.4.4 V7.4.4 V8.4.4 V9.4.4 V10.4.4 ...V∞.4.4

См. также[править | править вики-текст]

Примечания[править | править вики-текст]

Литература[править | править вики-текст]

  • Большая советская энциклопедия
  • Arthur S. Finbow, Bert L. Hartnell, Richard J. Nowakowski, Michael D. Plummer On well-covered triangulations. III // Discrete Applied Mathematics. — 2010. — Т. 158, вып. 8. — DOI:10.1016/j.dam.2009.08.002.
  • Douglas J. Klein Resistance-Distance Sum Rules // Croatica Chemica Acta. — 2002. — Т. 75, вып. 2.
  • R. Williams. Chapter 5 The Kaleidoscope, Section: 5.7 Wythoff's // The Geometrical Foundation of Natural Structure: A Source Book of Design. — New York: Dover Publications, 1979.

Ссылки[править | править вики-текст]