Оператор Гильберта — Шмидта

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Оператор Гильберта — Шмидта — это ограниченный оператор на гильбертовом пространстве с конечной нормой Гильберта — Шмидта, т. е. для которого существует такой ортонормированный базис в , что

Если это верно в каком-то ортономированном базисе, то это верно в любом ортонормированном базисе.

Скалярное произведение Гильберта — Шмидта[править | править вики-текст]

Пусть и — два оператора Гильберта — Шмидта. Скалярное произведение Гильберта — Шмидта определяется как

где обозначает след оператора. Индуцированная таким скалярным произведением норма называется нормой Гильберта — Шмидта:

Это определение не зависит от выбора ортонормированного базиса и аналогично норме Фробениуса для операторов в конечномерном векторном пространстве.

Свойства[править | править вики-текст]

Операторы Гильберта — Шмидта образуют двусторонний *-идеал в банаховой алгебре ограниченных операторов на . Операторы Гильберта — Шмидта образуют замкнутое в топологии, индуцированной нормой на , множество тогда и только тогда, когда конечномерно. Они также образуют гильбертово пространство. Можно показать, что оно естественно изоморфно тензорному произведению гильбертовых пространств

где  — пространство, сопряжённое к .

См. также[править | править вики-текст]