Оператор Лапласа

Опера́тор Лапла́са (лапласиа́н, оператор дельта) — дифференциальный оператор, действующий в линейном пространстве гладких функций и обозначаемый символом $\ \Delta$. Функции $F\$ он ставит в соответствие функцию

$\Delta F={\partial ^{2}F \over \partial x_{1}^{2}}+{\partial ^{2}F \over \partial x_{2}^{2}}+\ldots +{\partial ^{2}F \over \partial x_{n}^{2}}$

в n-мерном пространстве.

Оператор Лапласа эквивалентен последовательному взятию операций градиента и дивергенции: $\Delta =\operatorname {div} \,\operatorname {grad}$, таким образом, значение оператора Лапласа в точке может быть истолковано как плотность источников (стоков) потенциального векторного поля $\ \operatorname {grad} F$ в этой точке. В декартовой системе координат оператор Лапласа часто обозначается следующим образом $\Delta =\nabla \cdot \nabla =\nabla ^{2}$, то есть в виде скалярного произведения оператора набла на себя. Оператор Лапласа симметричен.

Оператор Лапласа для вектора $\mathbf {A} =A_{x}\mathbf {i} +A_{y}\mathbf {j} +A_{z}\mathbf {k}$:

$\Delta \mathbf {A} ={\Delta }A_{x}\mathbf {i} +{\Delta }A_{y}\mathbf {j} +{\Delta }A_{z}\mathbf {k} ={\biggl (}{\frac {\partial ^{2}A_{x}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}A_{x}}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}A_{x}}{\partial z^{2}}}{\Biggr )}\mathbf {i} +{\biggl (}{\frac {\partial ^{2}A_{y}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}A_{y}}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}A_{y}}{\partial z^{2}}}{\Biggr )}\mathbf {j} +{\biggl (}{\frac {\partial ^{2}A_{z}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}A_{z}}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}A_{z}}{\partial z^{2}}}{\Biggr )}\mathbf {k}$

Лапласиан вектора - тоже вектор.

Другое определение оператора Лапласа

Оператор Лапласа является естественным обобщением на функции нескольких переменных обычной второй производной функции одной переменной. В самом деле, если функция $\ f(x)$ имеет в окрестности точки $\ x_{0}$ непрерывную вторую производную $\ f''(x)$, то, как это следует из формулы Тейлора

$\ f(x_{0}+r)=f(x_{0})+rf'(x_{0})+{\frac {r^{2}}{2}}f''(x_{0})+o(r^{2}),$ при $r\to 0,$,

$\ f(x_{0}-r)=f(x_{0})-rf'(x_{0})+{\frac {r^{2}}{2}}f''(x_{0})+o(r^{2}),$ при $r\to 0,$

вторая производная есть предел

$\ f''(x_{0})=\lim \limits _{r\to 0}{\frac {2}{r^{2}}}\left\{{\frac {f(x_{0}+r)+f(x_{0}-r)}{2}}-f(x_{0})\right\}.$

Если, переходя к функции $\ F$ от $\ k$ переменных, поступить таким же образом, то есть для заданной точки $M_{0}(x_{1}^{0},x_{2}^{0},...,x_{k}^{0})$ рассматривать её $\ k$ -мерную шаровую окрестность $\ Q_{r}$ радиуса $\ r$ и разность между средним арифметическим

$\ {\frac {1}{\sigma (S_{r})}}\int \limits _{S_{r}}Fd\sigma$

функции $\ F$ на границе $\ S_{r}$ такой окрестности с площадью границы $\ \sigma (S_{r})$ и значением $\ F(M_{0})$ в центре этой окрестности $\ M_{0}$, то в случае непрерывности вторых частных производных функции $\ F$ в окрестности точки $\ M_{0}$ значение лапласиана $\ \Delta F$ в этой точке есть предел

$\ \Delta F(M_{0})=\lim \limits _{r\to 0}{\frac {2k}{r^{2}}}\left\{{\frac {1}{\sigma (S_{r})}}\int \limits _{S_{r}}F(M)d\sigma -F(M_{0})\right\}.$

Одновременно с предыдущим представлением для оператора Лапласа функции $\ F$, имеющей непрерывные вторые производные, справедлива формула

$\ \Delta F(M_{0})=\lim \limits _{r\to 0}{\frac {2(k+2)}{r^{2}}}\left\{{\frac {1}{\omega (Q_{r})}}\int \limits _{Q_{r}}F(M)d\omega -F(M_{0})\right\},$ где $\ \omega (Q_{r})$ — объём окрестности $\ Q_{r}.$

Эта формула выражает непосредственную связь лапласиана функции с её объёмным средним в окрестности данной точки.

Доказательство этих формул можно найти, например, в.

Вышеизложенные пределы, во всех случаях, когда они существуют, могут служить определением оператора Лапласа функции $\ F.$ Такое определение предпочтительнее обычного определения лапласиана, предполагающего существование вторых производных рассматриваемых функций, и совпадает с обычным определением в случае непрерывности этих производных.

Выражения для оператора Лапласа в различных криволинейных системах координат

В произвольных ортогональных криволинейных координатах в трёхмерном пространстве $q_{1},\ q_{2},\ q_{3}$:

$\Delta f(q_{1},\ q_{2},\ q_{3})=\operatorname {div} \,\operatorname {grad} \,f(q_{1},\ q_{2},\ q_{3})=$

$={\frac {1}{H_{1}H_{2}H_{3}}}\left[{\frac {\partial }{\partial q_{1}}}\left({\frac {H_{2}H_{3}}{H_{1}}}{\frac {\partial f}{\partial q_{1}}}\right)+{\frac {\partial }{\partial q_{2}}}\left({\frac {H_{1}H_{3}}{H_{2}}}{\frac {\partial f}{\partial q_{2}}}\right)+{\frac {\partial }{\partial q_{3}}}\left({\frac {H_{1}H_{2}}{H_{3}}}{\frac {\partial f}{\partial q_{3}}}\right)\right],$

где $H_{i}\$ — коэффициенты Ламе.

Цилиндрические координаты

В цилиндрических координатах вне прямой $\ r=0$:

$\Delta f={1 \over r}{\partial \over \partial r}\left(r{\partial f \over \partial r}\right)+{\partial ^{2}f \over \partial z^{2}}+{1 \over r^{2}}{\partial ^{2}f \over \partial \varphi ^{2}}$

Сферические координаты

В сферических координатах вне начала отсчёта (в трёхмерном пространстве):

$\Delta f={1 \over r^{2}}{\partial \over \partial r}\left(r^{2}{\partial f \over \partial r}\right)+{1 \over r^{2}\sin \theta }{\partial \over \partial \theta }\left(\sin \theta {\partial f \over \partial \theta }\right)+{1 \over r^{2}\sin ^{2}\theta }{\partial ^{2}f \over \partial \varphi ^{2}}$

или

$\Delta f={1 \over r}{\partial ^{2} \over \partial r^{2}}\left(rf\right)+{1 \over r^{2}\sin \theta }{\partial \over \partial \theta }\left(\sin \theta {\partial f \over \partial \theta }\right)+{1 \over r^{2}\sin ^{2}\theta }{\partial ^{2}f \over \partial \varphi ^{2}}.$

В случае если $\ f=f(r)$ в n-мерном пространстве:

$\Delta f={d^{2}f \over dr^{2}}+{n-1 \over r}{df \over dr}.$

Параболические координаты

В параболических координатах (в трёхмерном пространстве) вне начала отсчёта:

$\Delta f={\frac {1}{\sigma ^{2}+\tau ^{2}}}\left[{\frac {1}{\sigma }}{\frac {\partial }{\partial \sigma }}\left(\sigma {\frac {\partial f}{\partial \sigma }}\right)+{\frac {1}{\tau }}{\frac {\partial }{\partial \tau }}\left(\tau {\frac {\partial f}{\partial \tau }}\right)\right]+{\frac {1}{\sigma ^{2}\tau ^{2}}}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial \varphi ^{2}}}$

Цилиндрические параболические координаты

В координатах параболического цилиндра вне начала отсчёта:

$\Delta F(u,v,z)={\frac {1}{c^{2}(u^{2}+v^{2})}}\left[{\frac {\partial ^{2}F}{\partial u^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}F}{\partial v^{2}}}\right]+{\frac {\partial ^{2}F}{\partial z^{2}}}.$

Общие криволинейные координаты и римановы пространства

Пусть на гладком многообразии $X$ задана локальная система координат и $g_{ij}$ — риманов метрический тензор на $X$, то есть метрика имеет вид

$ds^{2}=\sum _{i,j=1}^{n}g_{ij}dx^{i}dx^{j}$ .

Обозначим через $g^{ij}$ элементы матрицы $(g_{ij})^{-1}$ и

$g=\operatorname {det} g_{ij}=(\operatorname {det} g^{ij})^{-1}$.

Дивергенция векторного поля $F$, заданного координатами $F^{i}$ (и представляющего дифференциальный оператор первого порядка $\sum _{i}F^{i}{\frac {\partial }{\partial x^{i}}}$) на многообразии X вычисляется по формуле

$\operatorname {div} F={\frac {1}{\sqrt {g}}}\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial }{\partial x^{i}}}({\sqrt {g}}F^{i})$,

а компоненты градиента функции f — по формуле

$(\nabla f)^{j}=\sum _{i=1}^{n}g^{ij}{\frac {\partial f}{\partial x^{i}}}.$

Оператор Лапласа — Бельтрами на $X$:

$\Delta f=\operatorname {div} (\nabla f)={\frac {1}{\sqrt {g}}}\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial }{\partial x^{i}}}{\Big (}{\sqrt {g}}\sum _{k=1}^{n}g^{ik}{\frac {\partial f}{\partial x^{k}}}{\Big )}.$

Значение $\Delta f$ является скаляром, то есть не изменяется при преобразовании координат.

Применение

С помощью данного оператора удобно записывать уравнения Лапласа, Пуассона и волновое уравнение. В физике оператор Лапласа применим в электростатике и электродинамике, квантовой механике, во многих уравнениях физики сплошных сред, а также при изучении равновесия мембран, плёнок или поверхностей раздела фаз с поверхностным натяжением (см. Лапласово давление), в стационарных задачах диффузии и теплопроводности, которые сводятся, в непрерывном пределе, к обычным уравнениям Лапласа или Пуассона или к некоторым их обобщениям.

Вариации

• Оператор Д’Аламбера — обобщение оператора Лапласа для гиперболических уравнений. Включает в себя вторую производную по времени.
• Векторный оператор Лапласа — обобщение оператора Лапласа на случай векторного аргумента.

См. также

• Оператор набла
• Оператор Д’Аламбера
• Уравнение Лапласа
• Гармоническая функция
• Матрица Кирхгофа
• В.Г.Воднев, А.Ф.Наумович, Н.Ф.Наумович "Математический словарь высшей школы". Издательство МПИ 1984.

Ссылки

• MathWorld description of Laplacian Архивная копия от 17 июня 2020 на Wayback Machine