Оператор Лапласа

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Опера́тор Лапла́са (лапласиа́н, оператор дельта) — дифференциальный оператор, действующий в линейном пространстве гладких функций и обозначаемый символом \ \Delta. Функции F\ он ставит в соответствие функцию

\left({\partial^2 \over \partial x_1^2} + {\partial^2 \over \partial x_2^2} + \ldots  + {\partial^2 \over \partial x_n^2}\right)F

в n-мерном пространстве.

Оператор Лапласа эквивалентен последовательному взятию операций градиента и дивергенции: \Delta=\operatorname{div}\,\operatorname{grad}, таким образом, значение оператора Лапласа в точке может быть истолковано как плотность источников (стоков) потенциального векторного поля \ \operatorname{grad}F в этой точке. В декартовой системе координат оператор Лапласа часто обозначается следующим образом \Delta=\nabla\cdot\nabla=\nabla^2[1], то есть в виде скалярного произведения оператора набла на себя. Оператор Лапласа симметричен.

Другое определение оператора Лапласа[править | править исходный текст]

Оператор Лапласа является естественным обобщением на функции нескольких переменных обычной второй производной функции одного переменного. В самом деле, если функция \ f (x) имеет в окрестности точки \ x_0 непрерывную вторую производную \ f''(x), то, как это следует из формулы Тейлора

\ f(x_0+r)=f(x_0)+rf'(x_0)+\frac{r^2}{2}f''(x_0)+o(r^2), при r\to 0,,
\ f(x_0-r)=f(x_0)-rf'(x_0)+\frac{r^2}{2}f''(x_0)+o(r^2), при r\to 0,

вторая производная есть предел

\ f''(x_0)=\lim\limits_{r \to 0} \frac{2}{r^2} \left\{ \frac{f(x_0+r)+f(x_0-r)}{2}-f(x_0) \right\}.

Если, переходя к функции \ F от \ k переменных, поступить таким же образом, то есть для заданной точки  M_0(x_1^0,x_2^0, ... ,x_k^0) рассматривать её \ k -мерную шаровую окрестность \ Q_r радиуса \ r и разность между средним арифметическим

\ \frac{1}{\sigma(S_r)}\int\limits_{S_r}Fd\sigma

функции \ F на границе \ S_r такой окрестности с площадью границы \ \sigma(S_r) и значением \ F(M_0) в центре этой окрестности \ M_0, то в случае непрерывности вторых частных производных функции \ F в окрестности точки \ M_0 значение лапласиана \ \Delta F в этой точке есть предел

\ \Delta F(M_0)=\lim\limits_{r \to 0} \frac{2k}{r^2} \left\{\frac{1}{\sigma(S_r)}\int\limits_{S_r}F(M)d\sigma -F(M_0) \right\}.

Одновременно с предыдущим представлением для оператора Лапласа функции \ F, имеющей непрерывные вторые производные, справедлива формула

\ \Delta F(M_0)=\lim\limits_{r \to 0} \frac{2(k+2)}{r^2} \left\{\frac{1}{\omega(Q_r)}\int\limits_{Q_r}F(M)d\omega -F(M_0) \right\}, где \ \omega(Q_r) — объём окрестности \ Q_r.

Эта формула выражает непосредственную связь лапласиана функции с её объёмным средним в окрестности данной точки.

Доказательство этих формул можно найти, например, в [2].

Вышеизложенные пределы, во всех случаях, когда они существуют, могут служить определением оператора Лапласа функции \ F. Такое определение предпочтительнее обычного определения лапласиана, предполагающего существование вторых производных рассматриваемых функций, и совпадает с обычным определением в случае непрерывности этих производных.

Выражения для оператора Лапласа в различных криволинейных системах координат[править | править исходный текст]

В произвольных ортогональных криволинейных координатах в трехмерном пространстве q_1,\ q_2,\ q_3:

\Delta f (q_1,\ q_2,\ q_3) = \operatorname{div}\,\operatorname{grad}\,f(q_1,\ q_2,\ q_3) =
=\frac{1}{H_1H_2H_3}\left[ \frac{\partial}{\partial q_1}\left( \frac{H_2H_3}{H_1}\frac{\partial f}{\partial q_1} \right) + \frac{\partial}{\partial q_2}\left( \frac{H_1H_3}{H_2}\frac{\partial f}{\partial q_2} \right) +  \frac{\partial}{\partial q_3}\left( \frac{H_1H_2}{H_3}\frac{\partial f}{\partial q_3} \right)\right],
где H_i\  — коэффициенты Ламе.

Цилиндрические координаты[править | править исходный текст]

В цилиндрических координатах вне прямой \ r=0:

 \Delta f 
= {1 \over r} {\partial \over \partial r}
  \left( r {\partial f \over \partial r} \right) 
+ {\partial^2f \over \partial z^2}
+ {1 \over r^2} {\partial^2 f \over \partial \varphi^2}

Сферические координаты[править | править исходный текст]

В сферических координатах вне начала отсчёта (в трёхмерном пространстве):

 \Delta f 
= {1 \over r^2} {\partial \over \partial r}
  \left( r^2 {\partial f \over \partial r} \right) 
+ {1 \over r^2 \sin \theta} {\partial \over \partial \theta}
  \left( \sin \theta {\partial f \over \partial \theta} \right) 
+ {1 \over r^2\sin^2 \theta} {\partial^2 f \over \partial \varphi^2}

или

 \Delta f 
= {1 \over r} {\partial^2 \over \partial r^2}
  \left( rf \right) 
+ {1 \over r^2 \sin \theta} {\partial \over \partial \theta}
  \left( \sin \theta {\partial f \over \partial \theta} \right) 
+ {1 \over r^2 \sin^2 \theta} {\partial^2 f \over \partial \varphi^2}.

В случае если \ f=f(r) в n-мерном пространстве:

 \Delta f =  {d^2 f\over dr^2} + {n-1 \over r } {df\over dr}.

Параболические координаты[править | править исходный текст]

В параболических координатах (в трёхмерном пространстве) вне начала отсчёта:


\Delta f= \frac{1}{\sigma^{2} + \tau^{2}} 
\left[
\frac{1}{\sigma} \frac{\partial }{\partial \sigma} 
\left( \sigma \frac{\partial f}{\partial \sigma} \right) +
\frac{1}{\tau} \frac{\partial }{\partial \tau} 
\left( \tau \frac{\partial f}{\partial \tau} \right)\right] +
\frac{1}{\sigma^2\tau^2}\frac{\partial^2 f}{\partial \varphi^2}

Цилиндрические параболические координаты[править | править исходный текст]

В координатах параболического цилиндра вне начала отсчёта:

\Delta F(u,v,z) = \frac{1}{c^2(u^2+v^2)} \left[ \frac{\partial^2 F }{\partial u^2}+ \frac{\partial^2 F }{\partial v^2}\right] + \frac{\partial^2 F }{\partial z^2}

Общие криволинейные координаты и римановы пространства[править | править исходный текст]

Пусть на гладком многообразии X задана локальная система координат и g_{ij} — риманов метрический тензор на X, то есть метрика имеет вид

ds^2 =\sum^n_{i,j=1}g_{ij} dx^idx^j .

Обозначим через g^{ij} элементы матрицы (g_{ij})^{-1} и

g = \operatorname{det} g_{ij} = (\operatorname{det} g^{ij})^{-1}.

Дивергенция векторного поля F, заданного коодинатами F^i (и представляющего дифференциальный оператор первого порядка \sum_i F^i\frac{\partial}{\partial x^i}) на многообразии X вычисляется по формуле

\operatorname{div} F = \frac{1}{\sqrt{g}}\sum^n_{i=1}\frac{\partial}{\partial x^i}(\sqrt{g}F^i),

а компоненты градиента функции f — по формуле

(\nabla f)^j =\sum^n_{i=1}g^{ij} \frac{\partial f}{\partial x^i}

Оператор Лапласа-Бельтрами на X

\Delta f = \operatorname{div} (\nabla f)= \frac{1}{\sqrt{g}}\sum^n_{i=1}\frac{\partial}{\partial x^i}(\sqrt{g} \sum^n_{k=1}g^{ik} \frac{\partial f}{\partial x^k})

Значение \Delta f является скаляром, то есть не изменяется при преобразовании координат.

Применение[править | править исходный текст]

С помощью данного оператора удобно записывать уравнения Лапласа, Пуассона и волновое уравнение. В физике оператор Лапласа применим в электростатике и электродинамике, квантовой механике, во многих уравнениях физики сплошных сред, а также при изучении равновесия мембран, плёнок или поверхностей раздела фаз с поверхностным натяжением (см. Лапласово давление), в стационарных задачах диффузии и теплопроводности, которые сводятся, в непрерывном пределе, к обычным уравнениям Лапласа или Пуассона или к некоторым их обобщениям.

Вариации и обобщения[править | править исходный текст]

См. также[править | править исходный текст]

Литература[править | править исходный текст]

  1. Стоит избегать обозначения для оператора Лапласа в виде квадрата оператора набла, поскольку из такой записи не понятно скалярное или векторное произведение подразумевается под возведением в квадрат.
  2. Тиман А. Ф., Трофимов В. Н. Введение в теорию гармонических функций. М. Наука. 1968 г. 208с.

Ссылки[править | править исходный текст]