Оператор (математика)

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Опера́тор (позднелат. operator — работник, исполнитель, от operor — работаю, действую) — то же, что функция или морфизм.

Термин оператор встречается в разных разделах математики, его точное значение зависит от раздела. Как правило, под операторами понимают какие-то особые (для данной области математики) отображения, например в функциональном анализе под операторами понимают отображение, ставящее в соответствие функции другую функцию («оператор на пространстве функций» звучит лучше, чем «функция от функции»).

Наиболее часто встречающиеся операторы:

Основная терминология[править | править вики-текст]

Пусть оператор действует из множества в множество .

Простые примеры[править | править вики-текст]

Оператор, действующий над пространствами функций — это правило, согласно которому одна функция преобразуется в другую. Преобразование функции согласно правилу в другую функцию имеет вид или, проще, .

Примеры подобных преобразований — умножение на число: и дифференцирование: . Соответствующие операторы называются операторами умножения на число, дифференцирования, интегрирования, решения дифференциального уравнения и т. д.

Операторы, изменяющие аргумент функции, называются операторами преобразования или преобразованиями. Преобразование подменяет координатные оси, отображает функцию в другое пространство. Например преобразование Фурье из временной в частотную область:

Отличие оператора от простой суперпозиции функций в данном случае заключается в том, что значение функции , вообще говоря, в каждой точке зависит не только от , а от значений функции во всех точках . Поясним на примере преобразования Фурье. Значение этого преобразования (спектр функции) в точке меняется при непрерывном изменении исходной функции в окрестности любой точки .

Изучением общих свойств операторов и применением их к решению различных задач занимается теория операторов. Например, оказывается, что у оператора умножения вектора на матрицу и оператора свёртки функции с весом есть много общих свойств.

Фундаментальным для практики является класс так называемых линейных операторов. Он также является наиболее исследованным. В качестве примера линейного оператора можно привести операцию умножения -мерного вектора на матрицу размером . Этот оператор отображает -мерное пространство векторов в -мерное.

Линейные операторы[править | править вики-текст]

Оператор (действующий из векторного пространства в векторное же) называется линейным однородным (или просто линейным), если он обладает следующими свойствами:

  1. может применяться почленно к сумме аргументов:
    ;
  2. скаляр (постоянную величину) можно выносить за знак оператора:
    ;

Из 2) следует, что для линейного однородного оператора справедливо свойство .

Оператор называется линейным неоднородным, если он состоит из линейного однородного оператора с прибавлением некоторого фиксированного элемента:

,

где  — линейный однородный оператор.

В случае линейного преобразования дискретных функций (последовательностей, векторов) новые значения функций являются линейными функциями от старых значений :

.

В более общем случае непрерывных функций двумерная матрица весов принимает вид функции двух переменных , и называется ядром линейного интегрального преобразования:

Функция-операнд в данном случае называется спектральной функцией. Спектр может быть и дискретным, тогда заменяется вектором . В этом случае представимо конечным или бесконечным рядом функций:

Единичный (тождественный) оператор[править | править вики-текст]

Оператор , ставящий в соответствие каждому вектору сам вектор , очевидно, линейный; он называется единичным или тождественным оператором.

Частный случай линейного оператора, возвращающий операнд в неизменном виде:

то есть как матричный оператор определяется равенством

и как интегральный оператор — равенством

.

Единичная матрица записывается большей частью с помощью символа (символ Кронекера). Имеем: при и при .

Единичное ядро записывается в виде (дельта-функция). всюду, кроме , где функция становится бесконечной и притом такой, что

.

Запись[править | править вики-текст]

В математике и технике широко применяется условная форма записи операторов, аналогичная алгебраической символике. Такая символика в ряде случаев позволяет избежать сложных преобразований и записывать формулы в простой и удобной форме. Аргументы оператора называются операндами, число операндов называется арностью оператора (например, одинарный, бинарный). Написание операторов можно систематизировать следующим образом:

  • префиксная: где первым идёт оператор и операнды следом, например:
  • постфиксная: если символ оператора следует за операндами, например:
  • инфиксная: оператор вставляется между операндами, применяется преимущественно с двоичными операторами:
  • позиционная: знак оператора опускается, оператор присутствует неявно. Чаще всего не пишется оператор произведения (переменных, численного значения на физическую единицу, матриц, композиция функций), например, 3 кг. Такая способность одного оператора действовать над разнородными сущностями достигается перегрузкой операторов;
  • подстрочная или надстрочная слева или справа; главным образом используется для операций возведения в степень и выбора элемента вектора по индексу.

Как можно заметить, запись оператора часто принимает сокращённую форму от общепринятой записи функций. При использовании префиксной или постфиксной записи скобки опускаются в большинстве случаев, если известна арность оператора. Так, одинарный оператор над функцией обычно для краткости записывается вместо ; скобками пользуются для ясности, например, операция над произведением . , действующий на , также записывают . Для обозначения некоторых операторов вводятся специальные знаки, например, унарные (факториал «!», справа от операнда), (отрицание, слева) или каллиграфические символы, как в случае с Фурье-преобразованием функции . Возведение в степень можно считать бинарным оператором двух аргументов либо степенной или показательной функцией одного аргумента.

Символ линейного дифференциального оператора[править | править вики-текст]

Символ линейного дифференциального оператора сопоставляет дифференциальному оператору многочлен, грубо говоря, заменяя композицию частных производных на произведение ассоциированных с ними переменных. Старшие мономы символа оператора (главный символ оператора) отражают качественное поведение решения уравнения в частных производных, соответствующего этому оператору. Линейные эллиптические уравнения в частных производных характеризуются тем, что их главный символ нигде не обращается в 0.

Пусть и имеются мультииндексы и . Тогда положим

Пусть P -- линейный дифференциальный оператор порядка k на евклидовом пространстве Rd. Тогда P является полиномом от производной D, в мультииндексной записи это будет записываться так

Полином p, по определению, является полным символом P:

Главный символ оператора состоит из мономов максимальной степени σP:

и является частью полного символа оператора, которая преобразуется как тензор при замене координат.

См. также[править | править вики-текст]

Источники[править | править вики-текст]

  • Вентцель Е. С. Теория вероятностей — 1998, стр. 388—390
  • Маделунг Э. Математический аппарат физики — стр. 34
  • (1995) Оператор. Математический энциклопедический словарь. Гл. ред. Ю. В. Прохоров. М.: «Большая российская энциклопедия».