Оператор (математика)

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Опера́тор (позднелат. operator — работник, исполнитель, от operor — работаю, действую) — то же, что морфизм.

Термин оператор встречается в разных разделах математики, его точное значение зависит от раздела. Как правило, под операторами понимают какие-то особые (для данной области математики) отображения, например в функциональном анализе под операторами понимают отображение, ставящее в соответствие функции другую функцию («оператор на пространстве функций» звучит лучше, чем «функция от функции»).

В отличие от действия функции, при котором из одного числа по определенным правилам получается другое число (несколько чисел), при действии оператора из одной функции по определенным правилам получается другая функция (семейство функций).

Наиболее часто встречающиеся операторы:

Основная терминология[править | править код]

Пусть оператор действует из множества в множество .

Простые примеры[править | править код]

Оператор, действующий над пространствами функций — это правило, согласно которому одна функция преобразуется в другую. Преобразование функции согласно правилу в другую функцию имеет вид или, проще, .

Примеры подобных преобразований — умножение на число: и дифференцирование: . Соответствующие операторы называются операторами умножения на число, дифференцирования, интегрирования, решения дифференциального уравнения и т. д.

Операторы, изменяющие аргумент функции, называются операторами преобразования или преобразованиями. Преобразование подменяет координатные оси, отображает функцию в другое пространство. Например преобразование Фурье из временной в частотную область:

Отличие оператора от простой суперпозиции функций в данном случае заключается в том, что значение функции , вообще говоря, в каждой точке зависит не только от , а от значений функции во всех точках . Поясним на примере преобразования Фурье. Значение этого преобразования (спектр функции) в точке меняется при непрерывном изменении исходной функции в окрестности любой точки .

Изучением общих свойств операторов и применением их к решению различных задач занимается теория операторов. Например, оказывается, что у оператора умножения вектора на матрицу и оператора свёртки функции с весом есть много общих свойств.

Фундаментальным для практики является класс так называемых линейных операторов. Он также является наиболее исследованным. В качестве примера линейного оператора можно привести операцию умножения -мерного вектора на матрицу размером . Этот оператор отображает -мерное пространство векторов в -мерное.

Линейные операторы[править | править код]

Оператор (действующий из векторного пространства в векторное же) называется линейным однородным (или просто линейным), если он обладает следующими свойствами:

  1. может применяться почленно к сумме аргументов:
    ;
  2. скаляр (постоянную величину) можно выносить за знак оператора:
    ;

Из 2) следует, что для линейного однородного оператора справедливо свойство .

Оператор называется линейным неоднородным, если он состоит из линейного однородного оператора с прибавлением некоторого фиксированного элемента:

,

где  — линейный однородный оператор.

В случае линейного преобразования дискретных функций (последовательностей, векторов) новые значения функций являются линейными функциями от старых значений :

.

В более общем случае непрерывных функций двумерная матрица весов принимает вид функции двух переменных , и называется ядром линейного интегрального преобразования:

Функция-операнд в данном случае называется спектральной функцией. Спектр может быть и дискретным, тогда заменяется вектором . В этом случае представимо конечным или бесконечным рядом функций:

Нулевой оператор[править | править код]

Оператор , ставящий в соответствие каждому вектору нулевой вектор , очевидно, линейный; он называется нулевым оператором[1].

Единичный (тождественный) оператор[править | править код]

Оператор , ставящий в соответствие каждому вектору сам вектор , очевидно, линейный; он называется единичным или тождественным оператором.

Частный случай линейного оператора, возвращающий операнд в неизменном виде:

то есть как матричный оператор определяется равенством

и как интегральный оператор — равенством

.

Единичная матрица записывается большей частью с помощью символа (символ Кронекера). Имеем: при и при .

Единичное ядро записывается в виде (дельта-функция). всюду, кроме , где функция становится бесконечной и притом такой, что

.

Запись[править | править код]

В математике и технике широко применяется условная форма записи операторов, аналогичная алгебраической символике. Такая символика в ряде случаев позволяет избежать сложных преобразований и записывать формулы в простой и удобной форме. Аргументы оператора называются операндами, число операндов называется арностью оператора (например, одинарный, бинарный). Написание операторов можно систематизировать следующим образом:

  • префиксная: где первым идёт оператор и операнды следом, например:
  • постфиксная: если символ оператора следует за операндами, например:
  • инфиксная: оператор вставляется между операндами, применяется преимущественно с двоичными операторами:
  • позиционная: знак оператора опускается, оператор присутствует неявно. Чаще всего не пишется оператор произведения (переменных, численного значения на физическую единицу, матриц, композиция функций), например, 3 кг. Такая способность одного оператора действовать над разнородными сущностями достигается перегрузкой операторов;
  • подстрочная или надстрочная слева или справа; главным образом используется для операций возведения в степень и выбора элемента вектора по индексу.

Как можно заметить, запись оператора часто принимает сокращённую форму от общепринятой записи функций. При использовании префиксной или постфиксной записи скобки опускаются в большинстве случаев, если известна арность оператора. Так, одинарный оператор над функцией обычно для краткости записывается вместо ; скобками пользуются для ясности, например, операция над произведением . , действующий на , также записывают . Для обозначения некоторых операторов вводятся специальные знаки, например, унарные (факториал «!», справа от операнда), (отрицание, слева) или каллиграфические символы, как в случае с Фурье-преобразованием функции . Возведение в степень можно считать бинарным оператором двух аргументов либо степенной или показательной функцией одного аргумента.

Символ линейного дифференциального оператора[править | править код]

Символ линейного дифференциального оператора сопоставляет дифференциальному оператору многочлен, грубо говоря, заменяя композицию частных производных на произведение ассоциированных с ними переменных. Старшие мономы символа оператора (главный символ оператора) отражают качественное поведение решения уравнения в частных производных, соответствующего этому оператору. Линейные эллиптические уравнения в частных производных характеризуются тем, что их главный символ нигде не обращается в 0.

Пусть и имеются мультииндексы и . Тогда положим

Пусть P — линейный дифференциальный оператор порядка k на евклидовом пространстве Rd. Тогда P является полиномом от производной D, в мультииндексной записи это будет записываться так

Полином p, по определению, является полным символом P:

Главный символ оператора состоит из мономов максимальной степени σP:

и является частью полного символа оператора, которая преобразуется как тензор при замене координат.

См. также[править | править код]

Примечания[править | править код]

  1. Шилов Г. Е. Математический анализ. Специальный курс. — М.: Физматлит, 1961. — C. 203

Источники[править | править код]

  • Вентцель Е. С. Теория вероятностей — 1998, стр. 388—390
  • Маделунг Э. Математический аппарат физики — стр. 34
  • (1995) Оператор. Математический энциклопедический словарь. Гл. ред. Ю. В. Прохоров. М.: «Большая российская энциклопедия».