Описанная окружность

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
Circumscribed Polygon.svg

Описанная окру́жность многоугольника — окружность, содержащая все вершины многоугольника. Центром является точка (принято обозначать O) пересечения серединных перпендикуляров к сторонам многоугольника.

Содержание

Свойства[править | править вики-текст]

  • Центр описанной окружности выпуклого n-угольника лежит в точке пересечения серединных перпендикуляров к его сторонам. Как следствие: если рядом с n-угольником описана окружность, то все серединные перпендикуляры к его сторонам пересекаются в одной точке (центре окружности).
  • Около любого правильного многоугольника (все углы и стороны равны) можно описать окружность, и притом только одну.
  • Может быть доказано, что общее уравнение окружности с центром (a, b) и радиусом r в декартовой системе координат есть
\left(x - a \right)^2 + \left( y - b \right)^2=r^2.
  • Так как это уравнение имеет три параметра (a, b, r), то только три точки с парами координат требуется для того, чтобы определить уравнение окружности. Так как треугольник определяется тремя своими вершинами, то ровно три точки необходимы, чтобы определить окружность, то вокруг каждого треугольника может быть описана единственная окружность.

Уравнения окружности[править | править вики-текст]

В евклидовой плоскости можно дать в явном виде уравнение описанной окружности в терминах декартовых координат вершин вписанного треугольника. Предположим, что

\mathbf{A} = (A_x,A_y)
\mathbf{B} = (B_x,B_y)
\mathbf{C} = (C_x,C_y)

являются координатами вершин A, B и C. Тогда окружность - геометрическое место точек v = (vx,vy), в декартовой плоскости удовлетворяющих уравнениям

|\mathbf{v}-\mathbf{u}|^2 = r^2
|\mathbf{A}-\mathbf{u}|^2 = r^2
|\mathbf{B}-\mathbf{u}|^2 = r^2
|\mathbf{C}-\mathbf{u}|^2 = r^2,

гарантирующих то, что вершины A, B, C, и v находятся на одном и том же расстоянии r от общего центра u окружности. Используя поляризационное тождество, эти уравнения можно свести к матричному условию в виде

\begin{bmatrix}
|\mathbf{v}|^2 & -2v_x & -2v_y & -1 \\
|\mathbf{A}|^2 & -2A_x & -2A_y & -1 \\
|\mathbf{B}|^2 & -2B_x & -2B_y & -1 \\
|\mathbf{C}|^2 & -2C_x & -2C_y & -1
\end{bmatrix}

имеющему ненулевое ядро. Таким образом описанная окружность в качестве альтернативы может быть описана как геометрическое место точек нулей определителя этой матрицы:

\det\begin{bmatrix}
|\mathbf{v}|^2 & v_x & v_y & 1 \\
|\mathbf{A}|^2 & A_x & A_y & 1 \\
|\mathbf{B}|^2 & B_x & B_y & 1 \\
|\mathbf{C}|^2 & C_x & C_y & 1
\end{bmatrix}=0.

Используем обобщенный кофактор и пусть

\quad
S_x=\frac{1}{2}\det\begin{bmatrix}
|\mathbf{A}|^2 & A_y & 1 \\
|\mathbf{B}|^2 & B_y & 1 \\
|\mathbf{C}|^2 & C_y & 1
\end{bmatrix},\quad
S_y=\frac{1}{2}\det\begin{bmatrix}
A_x & |\mathbf{A}|^2 & 1 \\
B_x & |\mathbf{B}|^2 & 1 \\
C_x & |\mathbf{C}|^2 & 1
\end{bmatrix},
a=\det\begin{bmatrix}
A_x & A_y & 1 \\
B_x & B_y & 1 \\
C_x & C_y & 1
\end{bmatrix},\quad
b=\det\begin{bmatrix}
A_x & A_y & |\mathbf{A}|^2 \\
B_x & B_y & |\mathbf{B}|^2 \\
C_x & C_y & |\mathbf{C}|^2
\end{bmatrix}

тогда мы имеем |v|2 − 2Svb = 0 и, предполагая, что три точки окружности не лежат на одной прямой (в противном случае окружность вырождается в прямую линию, которая также может рассматриваться как обобщенный круг с центром S на бесконечности), |vS/a|2 = b/a + |S|2/a2, давая центр окружности 'S' / а и радиус описанной окружности √(b/a + |S|2/a2). Подобный подход позволяет вывести уравнение сферы из свойства тетраэдра.

Параметрическое уравнение[править | править вики-текст]

Единичный вектор перпендикулярный к плоскости, содержащую круг дается в виде

\hat{n} = \frac
  {\left( P_2 - P_1 \right) \times \left(P_3-P_1\right)}
  {\left| \left( P_2 - P_1 \right) \times \left(P_3-P_1\right) \right|}.

Следовательно, с учетом радиуса r с центром Pc, точка на окружности P0 единичная нормаль к плоскости, содержащей окружность: \scriptstyle{\hat{n}}, однопараметрическое уравнение окружности с началом в точке P0 и ориентированной в положительном направлении (то есть дающее векторы для правила правой руки) в этом смысле \scriptstyle{\hat{n}} имеет вид:

\mathrm{R} \left( s \right) = \mathrm{P_c} + 
\cos \left( \frac{\mathrm{s}}{\mathrm{r}} \right) \left( P_0 - P_c \right) + 
\sin \left( \frac{\mathrm{s}}{\mathrm{r}} \right) 
\left[ \hat{n} \times \left( P_0 - P_c \right) \right].

Трилинейные и барицентрические координаты окружности[править | править вики-текст]

Уравнение окружности в трилинейных координатах x : y : z есть [1]:p. 199 a/x + b/y + c/z = 0. Уравнение окружности в барицентрических координатах есть x : y : z is a2/x + b2/y + c2/z = 0. Изогональное сопряжение окружности есть бесконечно удаленная прямая , записываемая в трилинейных координатах в виде ax + by + cz = 0 and in barycentric coordinates by x + y + z = 0.

Координаты окружности центра[править | править вики-текст]

Декартовы координаты центра[править | править вики-текст]

Декартовы координаты центра описанной окружности есть

U_x = \left[(A_x^2 + A_y^2)(B_y - C_y) + (B_x^2 + B_y^2)(C_y - A_y) + (C_x^2 + C_y^2)(A_y - B_y)\right] / D,
U_y = \left[(A_x^2 + A_y^2)(C_x - B_x) + (B_x^2 + B_y^2)(A_x - C_x) + (C_x^2 + C_y^2)(B_x - A_x)\right]/ D.

Ее диаметр есть

D = 2\left[A_x(B_y - C_y) + B_x(C_y - A_y) + C_x(A_y - B_y)\right].\,

Без ограничения общности это можно выразить в упрощенном виде после перевода вершины A в начало координат декартовой системы координат, то есть, когда A′ = AA = (Ax,Ay) = (0,0). В этом случае координаты вершин B′ = BA и C′ = CA представляют собой векторы из вершины A′ к этим вершинам. Заметим, что этот тривиальный перевод возможен для всех треугольников и координат центра описанной окружности треугольника ABC′ в следующем виде:

\left[ C'_y(B^{'2}_x + B^{'2}_y) - B'_y(C^{'2}_x + C^{'2}_y) \right]/ D', \,
\left[B'_x(C^{'2}_x + C^{'2}_y) - C'_x(B^{'2}_x + B^{'2}_y) \right]/ D' \,,

где

D' = 2(  B'_xC'_y - B'_yC'_x ). \,

Трилинейные координаты центра[править | править вики-текст]

Центр описанной окружности имеет трилинейные координаты[1]:p.19

cos α : cos β : cos γ,

где α, β, γ внутренние углы треугольника. В терминах сторон треугольника a, b, c трилинейные координаты центра описанной окружности имеют вид [2]

a(b^2+c^2-a^2):b(c^2+a^2-b^2):c(a^2+b^2-c^2).

Барицентрические координаты центра[править | править вики-текст]

Барицентрические координаты центра описанной окружности имеют вид

 a^2( b^2 + c^2 -a^2):\;b^2(c^2 + a^2-b^2):\;c^2(a^2 + b^2 - c^2), \,[3],

где a, b, c длины сторон (BC, CA, AB соответственно) треугольника. В терминах углов треугольника \alpha, \beta, \gamma, барицентрические координаты центра описанной окружности имеют вид [2]

\sin 2\alpha :\sin 2\beta :\sin 2\gamma .

Вектор центра описанной окружности[править | править вики-текст]

Так как декартовы координаты любой точки являются средневзвешенным тех вершин, со своими весами, то барицентрические координаты точки нормируются в сумме единицей, тогда вектор центра описанной окружности, можно записать в виде

 U = \frac{a^2(b^2+c^2-a^2)A+b^2(c^2+a^2-b^2)B+c^2(a^2+b^2-c^2)C}{a^2(b^2+c^2-a^2)+b^2(c^2+a^2-b^2)+c^2(a^2+b^2-c^2)}.

Здесь U есть вектор центра описанной окружности, A, B, C являются векторами вершин. Делитель здесь равен 16S 2, где S - площадь треугольника.

Для треугольника[править | править вики-текст]

Окружность, описанная около треугольника

Углы[править | править вики-текст]

Равные углы у вписанного треугольника
 
Равные углы у вписанного треугольника

На рисунке показаны равные углы у треугольника, вписанного в окружность.

Углы, образуемые описанной окружностью со сторонами треугольника, совпадают с углами, которые образуют стороны треугольника, соединяясь друг с другом в вершинах. Сторона, противоположная углу α, дважды касается окружности: один раз на каждом конце; в каждом случае под одинаковым углом α (см. рис.) (аналогично для двух других углов). Это связано с теоремой об отрезке круга, дополнительном данному (the alternate segment theorem,), в которой говорится, что угол между касательной и хордой равен вписанному в окружность углу, опирающемуся на эту хорду.

Треугольные центры на окружности, описанной около треугольника ABC[править | править вики-текст]

В этом параграфе вершины углов обозначены, как A, B, C и все координаты являются трилинейными координатами. Следующие точки на окружности, описанной около треугольника ABC:

  • Точка Штейнера = bc / (b2c2) : ca / (c2a2) : ab / (a2b2) = невершинная точка пересечения описанной окружности с эллипсом Штейнера. (Эллипс Штейнера с центром, расположенном в центроиде треугольника ABC представляет собой эллипс с наименьшей площадью из всех, что проходят через вершины A, B и C. Уравнение эллипса Штейнера имеет вид: 1/(ax) + 1/(by) + 1/(cz) = 0.)
  • Точка Тарри (Tarry point) = sec (A + ω) : sec (B + ω) : sec (C + ω) = диметрально противоположная точке Штейнера
  • Фокус параболы Киперта (Kiepert parabola) = csc (BC) : csc (CA) : csc (AB). (см. рис.)


Парабола Киперта
Свойства вписанной параболы
  • Перспекторы вписанных в треугольник парабол лежат на описанном эллипсе Штейнера[4]. Фокус вписанной параболы лежит на описанной окружности, а директриса проходит через ортоцентр[5]. Парабола, вписанная в треугольник, имеющая директрисой прямую Эйлера, называется параболой Киперта. Её перспектор — четвёртая точка пересечения описанной окружности и описанного эллипса Штейнера, называемая точкой Штейнера.

Свойства центра описанной окружности треугольника[править | править вики-текст]

Обозначаем буквой О точку пересечения серединных перпендикуляров к его сторонам и проведем отрезки ОА, ОВ и ОС. Так как точка О равноудалена от вершин треугольника АВС, то ОА = OB = ОС. Поэтому окружность с центром О радиуса ОА проходит через все три вершины треугольника и, значит, является описанной около треугольника ABC.

  • Центр описанной окружности изогонально сопряжен ортоцентру.
  • 3 из 4 окружностей, описанных относительно серединных треугольников (образованных средними линиями треугольника), пересекаются в одной точке внутри треугольника. Эта точка и есть центр описанной окружности основного треугольника.
  • Центр описанной около треугольника окружности служит ортоцентром треугольника с вершинами в серединах сторон данного треугольника (называемого дополнительным треугольником).
  • Расстояние от вершины треугольника до ортоцентра вдвое больше, чем расстояние от центра описанной окружности до противоположной стороны.
  • Из последних двух утверждений следует то, что сумма расстояний от ортоцентра остроугольного треугольника до трех его вершин в два раза больше, чем сумма расстояний от центра описанной окружности до трех его сторон, и равна  2(R + r). В тупоугольном треугольнике надо брать знак "-" в случае, если перпендикуляр из центра описанной окружности на сторону целиком лежит вне треугольника или если отрезок, проведенный из ортоцентра к вершине, целиком лежит вне треугольника. Остальные члены берутся со знаком "+".
  • Формула Карно. Пусть D - центр описанной окружности треугольника ABC. Тогда сумма расстояний от D до сторон треугольника ABC, взятых со знаком "-", когда высота из D на сторону целиком лежит вне треугольника, будет равна R + r, где r — радиус вписанной окружности, а R — описанной. В частности \pm DF \pm DG \pm  DH = R + r, при правильном выборе знаков.

Радиус[править | править вики-текст]

Формулы радиуса описанной окружности

R = \frac {abc}{4S}
 R  = \sqrt{\frac{S}{2 \cdot \sin\alpha \sin\beta \sin\gamma}}.
R = \frac {a}{2\sin\alpha} = \frac {b}{2\sin\beta} = \frac {c}{2\sin\gamma}
R = \frac{abc}{\sqrt{(a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)}} = \frac{abc}{4\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}},
где:
a, b, c — стороны треугольника,
\alpha, \beta, \gamma — углы, лежащие против сторон a, b, c соответственно,
S — площадь треугольника.
p — полупериметр треугольника.

Положение центра описанной окружности[править | править вики-текст]

Пусть ~ {\mathbf r}_A, {\mathbf r}_B, {\mathbf r}_C радиус-векторы вершин треугольника, ~ \mathbf{r}_O  — радиус-вектор центра описанной окружности. Тогда

~ \mathbf{r}_O=  \alpha_A\mathbf{r}_A + \alpha_B\mathbf{r}_B+\alpha_C\mathbf{r}_C

где

\alpha_A = \frac{a^2}{8S^2}(\mathbf{r}_A-\mathbf{r}_B,\mathbf{r}_A-\mathbf{r}_C), \qquad
\alpha_B = \frac{b^2}{8S^2}(\mathbf{r}_B-\mathbf{r}_A,\mathbf{r}_B-\mathbf{r}_C), \qquad
\alpha_C = \frac{c^2}{8S^2}(\mathbf{r}_C-\mathbf{r}_A,\mathbf{r}_C-\mathbf{r}_B)

При этом a, b, c - длины сторон треугольника, противоположных вершинам A, B, C.

Уравнение описанной окружности[править | править вики-текст]

Пусть ~ {\mathbf r}_A = (x_A, y_A), {\mathbf r}_B = (x_B, y_B), {\mathbf r}_C= (x_C, y_C) координаты вершин треугольника в некоторой декартовой системе координат на плоскости, ~ \mathbf{r}_O= (x_O, y_O) — координаты центра описанной окружности. Тогда уравнение описанной окружности


\begin{vmatrix}
x^2+y^2 & x & y & 1 \\
x_A^2+y_A^2 & x_A & y_A & 1 \\
x_B^2+y_B^2 & x_B & y_B & 1 \\
x_C^2+y_C^2 & x_C & y_C & 1
\end{vmatrix} =0

Координаты центра описанной окружности могут быть вычислены


x_O=\frac{1}{D}\begin{vmatrix}
x_A^2+y_A^2 & y_A & 1 \\
x_B^2+y_B^2 & y_B & 1 \\
x_C^2+y_C^2 & y_C & 1
\end{vmatrix}, \quad

y_O=-\frac{1}{D}\begin{vmatrix}
x_A^2+y_A^2 & x_A & 1 \\
x_B^2+y_B^2 & x_B & 1 \\
x_C^2+y_C^2 & x_C & 1
\end{vmatrix},

где


D=2\begin{vmatrix}
x_A & y_A & 1 \\
x_B & y_B & 1 \\
x_C & y_C & 1
\end{vmatrix}

Теоремы, связанные с описанной окружностью[править | править вики-текст]

  • Теорема о трезубце или теорема трилистника, или теорема Клайнэра: Если D — точка пересечения биссектрисы угла A с описанной окружностью треугольника ABC, I и J — соответственно центры вписанной и вневписанной окружности, касающейся стороны BC, тогда |DI|=|DB|=|DC|=|DJ|.
  • Теорема Мансиона. Отрезок, соединяющий центры вписанной и вневписанной окружностей треугольника, делится описанной окружностью пополам.
  • Теорема Мансиона (продолжение). Середина дуги AC описанной окружности треугольника ABC, не содержащая вершину B, равноудалена от вершин A и C, центра I вписанной окружности и центра I_2 вневписанной окружности. Середина дуги AC описанной окружности треугольника ABC, содержащая вершину B, равноудалена от вершин A и C, и центров I_1 и I_3 вневписанных окружностей.
  • Окружностно-чевианным треугольником называют треугольник с вершинами во вторых точках пересечения трех прямых, проведённых через вершины подерного треугольника и данную точку P, с описанной окружностью.Теорема. Окружностно-чевианный треугольник подобен подерному (Доказательство в: http://www.problems.ru/view_problem_details_new.php?id=108130).
  • Теорема Симсона: Основания перпендикуляров, опущенных из точки P описанной окружности треугольника ABC на его стороны или их продолжения, лежат на одной прямой. Эта прямая называется прямой Симсона.
  • Согласно теореме Лестера[en] центр девяти точек лежит на одной окружности (на окружности Лестера) вместе с тремя другими точками — двумя точками Торричелли и центром описанной окружности [6].
  • Прямая Эйлера проходит через: 1) Центроид треугольника, 2) Ортоцентр треугольника, 3) центр описанной окружности, 4) Центр окружности девяти точек и другие известные точки (см. Прямая Эйлера).

Связь описанной окружности со вписанной окружностью, с ортоцентром и другими точками[править | править вики-текст]

  • Формула Эйлера: Если d — расстояние между центрами вписанной и описанной окружностей треугольника, а их радиусы равны r и R соответственно, то d^2 = R^2 - 2Rr.

Или через стороны треугольника:

d=OI= R\sqrt{\frac{a^3-a^2b-ab^2+b^3-a^2c+3abc-b^2c-bc^2-ac^2+c^3}{abc}},

где R - радиус описанной окружности (см. Окружность Фурмана).

OH=\sqrt{R^2-8R^2\cos A \cos B \cos C}=\sqrt{9R^2-(a^2+b^2+c^2)}.
IG < IO,
2IN < IO,
OI^2 =2R\cdot IN.
  • Произведение радиусов описанной и вписанной окружностей треугольника связано со сторонами a, b и c в виде[9]: p. 189, #298(d):
rR=\frac{abc}{2(a+b+c)}.
  • Если медиана m, высота h и внутренняя биссектриса t выходят из одной и той же вершины треугольника, около которого описана окружность радиуса R, тогда [10] :p.122,#96
4R^2h^2(t^2-h^2)=t^4(m^2-h^2).
  • Центр описанной окружности изогонально сопряжен с ортоцентром.
  • Перпендикуляры, восставленные к сторонам треугольника в точках касания вневписанных окружностей, пересекаются в одной точке. Эта точка симметрична центру вписанной окружности относительно центра описанной окружности [11].
  • В треугольнике есть три окружности, которые касаются двух сторон треугольника и описанной окружности. Такие окружности называют полувписанными или окружностями Веррьера. Отрезки, соединяющие вершины треугольника и соответствующие точки касания окружностей Веррьера с описанной окружностью, пересекаются в одной точке, называемой точкой Веррьера. Она служит центром гомотетии, которая переводит описанную окружность во вписанную. Точки касания окружностей Веррьера со сторонами лежат на прямой, которая проходит через центр вписанной окружности.
Полувписанные окружности
  • Формула Карно утверждает, что в треугольнике ABC сумма расстояний от центра D описанной окружности до сторон треугольника ABC, взятых со знаком "-", когда высота из D на сторону целиком лежит вне треугольника (иначе со знаком "+"), будет равна R + r, где r и R — радиусы вписанной и описанной окружностей[10]:p.83.
Формула Карно: DG+DH-DF = R + r

Например для рисунка формула Карно примет вид: DG+DH-DF = R + r.

Определения к последней теореме[править | править вики-текст]

  • Треугольник с вершинами в проекциях данной точки на стороны называется подерным или педальным треугольником этой точки.
  • Треугольник с вершинами во вторых точках пересечения прямых, проведённых через вершины и данную точку, с описанной окружностью, называют окружностно-чевианным треугольником.

Вариации по теме[править | править вики-текст]

Японская теорема (Japanese theorem)
  • Теорема[12]. Если во вписанном в окружность четырехугольнике провести диагональ, а в полученные два треугольника вписать две окружности, затем аналогично поступить, проведя вторую диагональ, тогда центры четырех образовавшихся окружностей являются вершинами прямоугольника (то есть лежат на одной окружности). Эту теорему называют японской теоремой (Japanese theorem). (см. рис.).

Для четырехугольника[править | править вики-текст]

Cyclic quadrilateral.svg

Вписанный простой (без самопересечений) четырёхугольник является выпуклым. Около выпуклого четырёхугольника можно описать окружность тогда и только тогда, когда сумма его противоположных углов равна 180° (\pi радиан). Можно описать окружность около:

 |AC|\cdot |BD| = |AB|\cdot |CD|+|BC|\cdot |AD|. .

\frac{|AC|}{|BD|} = \frac{|AB|\cdot |AD|+|BC|\cdot |CD|}{|AB|\cdot |BC|+|CD|\cdot|AD| }.

  • Радиус окружности, описанной около четырёхугольника:

R= \frac{1}{4} \sqrt{\frac{(ab+cd)(ad+bc)(ac+bd)}{(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)}}

S=\sqrt{(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)}

S= \frac{1}{4} \sqrt{- \begin{vmatrix}
a & b & c & -d \\
b & a & -d & c \\
c & -d & a & b \\
-d & c & b & a
\end{vmatrix}}

  • Подробнее о четырехугольниках, вписанных в окружность (Cyclic quadrilateral), можно прочитать на английском языке [16]

Для вписано-описанного четырехугольника[править | править вики-текст]

Аналог теоремы Эйлера для вписано-описанного четырехугольника[править | править вики-текст]

  • Для радиусов R и r соответственно описанной и вписанной окружностей данного вписано-описанного четырёхугольника и расстояния d между центрами этих окружностей выполняется соотношение:
 \frac{1}{(R+d)^2}+\frac{1}{(R-d)^2}=\frac{1}{r^2}.

или

 d^2= R^2+r^2-r \sqrt {4R^2+r^2}.

Для многоугольника[править | править вики-текст]

  • Если из отрезков составить многоугольник, то его площадь будет максимальна, когда он вписанный.
  • Если точка равноудалена от вершин многоугольника, то она совпадает с центром окружности, описанной около этого многоугольника.

В сферическом треугольнике[править | править вики-текст]

Описанная окружность для сферического треугольника — это окружность, содержащая все его вершины.

  • Если A, B, C — углы сферического треугольника, P — их полусумма, то тангенс радиуса[17] описанной окружности будет равен[18]:78,83
\operatorname{tg}R=\sqrt{\frac{-\cos P}{\cos (P-A)\cos (P-B)\cos (P-C)}}\,
  • Описанная окружность принадлежит сфере. Радиус, проведенный из центра сферы через центр описанной окружности пересечет сферу в точке пересечения серединных перпендикуляров (больших кругов сферы, перпендикулярных сторонам в их середине) к сторонам сферического треугольника[18]:21-22.


См. также[править | править вики-текст]

Логотип Викисловаря
В Викисловаре есть статья «окружность»

Примечания[править | править вики-текст]

  1. 1 2 Whitworth, William Allen. Trilinear Coordinates and Other Methods of Modern Analytical Geometry of Two Dimensions, Forgotten Books, 2012 (orig. Deighton, Bell, and Co., 1866). http://www.forgottenbooks.com/search?q=Trilinear+coordinates&t=books
  2. 1 2 Clark Kimberling's Encyclopedia of Triangles http://faculty.evansville.edu/ck6/encyclopedia/ETC.html
  3. Wolfram page on barycentric coordinates
  4. Акопян А. В., Заславский А. А.. Геометрические свойства кривых второго порядка. — 2-е изд., дополн.. — 2011. — С. 110.
  5. Акопян А. В., Заславский А. А.. Геометрические свойства кривых второго порядка. — 2-е изд., дополн.. — 2011. — С. 27—28.
  6. 1 2 Yiu, 2010, с. 175–209.
  7. Marie-Nicole Gras, "Distances between the circumcenter of the extouch triangle and the classical centers", Forum Geometricorum 14 (2014), 51-61. http://forumgeom.fau.edu/FG2014volume14/FG201405index.html
  8. Smith, Geoff, and Leversha, Gerry, "Euler and triangle geometry", Mathematical Gazette 91, November 2007, 436–452.
  9. Johnson, Roger A., Advanced Euclidean Geometry, Dover, 2007 (orig. 1929).
  10. 1 2 Altshiller-Court, Nathan, College Geometry, Dover, 2007.
  11. Мякишев А.Г. Элементы геометрии треугольника. Серия: «Библиотека "Математическое просвещение"». М.:МЦНМО,2002. c. 11, п. 5.
  12. Вокруг задачи Архимеда. Упр. 8, рис. 13, c. 6 / http://www.geometry.ru/articles/aymefeuerbach.pdf.
  13. Теорема Птолемея
  14. Четырёхугольники. Вписанные четырёхугольники .
  15. Стариков В.Н. Заметки по геометрии// Научный поиск: гуманитарные и социально-экономические науки: сборник научных трудов. Выпуск 1/ Гл. ред. Романова И.В. Чебоксары: ЦДИП «INet», 2014. С. 37-39
  16. Cyclic quadrilateral (англ. яз.). Четырехугольники, вписанные в окружность// https://en.wikipedia.org/wiki/Cyclic_quadrilateral.
  17. Здесь радиус окружности измеряется по сфере, то есть представляет собой градусную меру дуги большого круга, соединяющей точку пересечения радиуса сферы, проведенного из центра сферы через центр окружности, со сферой и вершину треугольника.
  18. 1 2 Степанов Н. Н. Сферическая тригонометрия. — М.—Л.: ОГИЗ, 1948. — 154 с.

Ссылки[править | править вики-текст]