Описанная окружность

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
Circumscribed Polygon.svg

Описанная окру́жность многоугольника — окружность, содержащая все вершины многоугольника. Центром является точка (принято обозначать O) пересечения серединных перпендикуляров к сторонам многоугольника.

Свойства[править | править вики-текст]

  • Центр описанной окружности выпуклого n-угольника лежит в точке пересечения серединных перпендикуляров к его сторонам. Как следствие: если рядом с n-угольником описана окружность, то все серединные перпендикуляры к его сторонам пересекаются в одной точке (центре окружности).
  • Около любого правильного многоугольника (все углы и стороны равны) можно описать окружность, и притом только одну.

Для треугольника[править | править вики-текст]

Окружность, описанная около треугольника


Парабола Киперта
Свойства вписанной параболы
  • Перспекторы вписанных в треугольник парабол лежат на описанном эллипсе Штейнера[1]. Фокус вписанной параболы лежит на описанной окружности, а директриса проходит через ортоцентр[2]. Парабола, вписанная в треугольник, имеющая директрисой прямую Эйлера, называется параболой Киперта. Её перспектор — четвёртая точка пересечения описанной окружности и описанного эллипса Штейнера, называемая точкой Штейнера.

Свойства центра описанной окружности треугольника[править | править вики-текст]

Обозначаем буквой О точку пересечения серединных перпендикуляров к его сторонам и проведем отрезки ОА, ОВ и ОС. Так как точка О равноудалена от вершин треугольника АВС, то ОА = OB = ОС. Поэтому окружность с центром О радиуса ОА проходит через все три вершины треугольника и, значит, является описанной около треугольника ABC.

  • Центр описанной окружности изогонально сопряжен ортоцентру.
  • 3 из 4 окружностей, описанных относительно серединных треугольников (образованных средними линиями треугольника), пересекаются в одной точке внутри треугольника. Эта точка и есть центр описанной окружности основного треугольника.
  • Центр описанной около треугольника окружности служит ортоцентром треугольника с вершинами в серединах сторон данного треугольника (называемого дополнительным треугольником).
  • Расстояние от вершины треугольника до ортоцентра вдвое больше, чем расстояние от центра описанной окружности до противоположной стороны.


Радиус[править | править вики-текст]

Формулы радиуса описанной окружности

R = \frac {abc}{4S}
R = \frac {a}{2\sin\alpha} = \frac {b}{2\sin\beta} = \frac {c}{2\sin\gamma}
R = \frac{abc}{\sqrt{(a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)}} = \frac{abc}{4\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}},
где:
a, b, c — стороны треугольника,
\alpha, \beta, \gamma — углы, лежащие против сторон a, b, c соответственно,
S — площадь треугольника.
p — полупериметр треугольника.

Положение центра описанной окружности[править | править вики-текст]

Пусть ~ {\mathbf r}_A, {\mathbf r}_B, {\mathbf r}_C радиус-векторы вершин треугольника, ~ \mathbf{r}_O  — радиус-вектор центра описанной окружности. Тогда

~ \mathbf{r}_O=  \alpha_A\mathbf{r}_A + \alpha_B\mathbf{r}_B+\alpha_C\mathbf{r}_C

где

\alpha_A = \frac{a^2}{8S^2}(\mathbf{r}_A-\mathbf{r}_B,\mathbf{r}_A-\mathbf{r}_C), \qquad
\alpha_B = \frac{b^2}{8S^2}(\mathbf{r}_B-\mathbf{r}_A,\mathbf{r}_B-\mathbf{r}_C), \qquad
\alpha_C = \frac{c^2}{8S^2}(\mathbf{r}_C-\mathbf{r}_A,\mathbf{r}_C-\mathbf{r}_B)

При этом a, b, c - длины сторон треугольника, противоположных вершинам A, B, C.

Уравнение описанной окружности[править | править вики-текст]

Пусть ~ {\mathbf r}_A = (x_A, y_A), {\mathbf r}_B = (x_B, y_B), {\mathbf r}_C= (x_C, y_C) координаты вершин треугольника в некоторой декартовой системе координат на плоскости, ~ \mathbf{r}_O= (x_O, y_O) — координаты центра описанной окружности. Тогда уравнение описанной окружности


\begin{vmatrix}
x^2+y^2 & x & y & 1 \\
x_A^2+y_A^2 & x_A & y_A & 1 \\
x_B^2+y_B^2 & x_B & y_B & 1 \\
x_C^2+y_C^2 & x_C & y_C & 1
\end{vmatrix} =0

Координаты центра описанной окружности могут быть вычислены


x_O=\frac{1}{D}\begin{vmatrix}
x_A^2+y_A^2 & y_A & 1 \\
x_B^2+y_B^2 & y_B & 1 \\
x_C^2+y_C^2 & y_C & 1
\end{vmatrix}, \quad

y_O=-\frac{1}{D}\begin{vmatrix}
x_A^2+y_A^2 & x_A & 1 \\
x_B^2+y_B^2 & x_B & 1 \\
x_C^2+y_C^2 & x_C & 1
\end{vmatrix},

где


D=2\begin{vmatrix}
x_A & y_A & 1 \\
x_B & y_B & 1 \\
x_C & y_C & 1
\end{vmatrix}

Теоремы, связанные с описанной окружностью[править | править вики-текст]

  • Теорема о трезубце или теорема трилистника, или теорема Клайнэра: Если D — точка пересечения биссектрисы угла A с описанной окружностью треугольника ABC, I и J — соответственно центры вписанной и вневписанной окружности, касающейся стороны BC, тогда |DI|=|DB|=|DC|=|DJ|.
  • Теорема Мансиона. Отрезок, соединяющий центры вписанной и вневписанной окружностей треугольника, делится описанной окружностью пополам.
  • Теорема Мансиона (продолжение). Середина дуги AC описанной окружности треугольника ABC, не содержащая вершину B, равноудалена от вершин A и C, центра I вписанной окружности и центра I_2 вневписанной окружности. Середина дуги AC описанной окружности треугольника ABC, содержащая вершину B, равноудалена от вершин A и C, и центров I_1 и I_3 вневписанных окружностей.

Связь описанной окружности со вписанной окружностью[править | править вики-текст]

  • Формула Эйлера: Если d — расстояние между центрами вписанной и описанной окружностей треугольника, а их радиусы равны r и R соответственно, то d^2 = R^2 - 2Rr.

Или через стороны треугольника:

d=OI= R\sqrt{\frac{a^3-a^2b-ab^2+b^3-a^2c+3abc-b^2c-bc^2-ac^2+c^3}{abc}},

где R - радиус описанной окружности (см. Окружность Фурмана).

  • В треугольнике есть три окружности, которые касаются двух сторон треугольника и описанной окружности. Такие окружности называют полувписанными или окружностями Веррьера. Отрезки, соединяющие вершины треугольника и соответствующие точки касания окружностей Веррьера с описанной окружностью, пересекаются в одной точке, называемой точкой Веррьера. Она служит центром гомотетии, которая переводит описанную окружность во вписанную. Точки касания окружностей Веррьера со сторонами лежат на прямой, которая проходит через центр вписанной окружности.
Полувписанные окружности

Определения к последней теореме[править | править вики-текст]

  • Треугольник с вершинами в проекциях данной точки на стороны называется подерным или педальным треугольником этой точки.
  • Треугольник с вершинами во вторых точках пересечения прямых, проведённых через вершины и данную точку, с описанной окружностью, называют окружностно-чевианным треугольником.

Для четырехугольника[править | править вики-текст]

Cyclic quadrilateral.svg

Вписанный простой (без самопересечений) четырёхугольник является выпуклым.

Около выпуклого четырёхугольника можно описать окружность тогда и только тогда, когда сумма его противоположных углов равна 180° (\pi радиан).

Можно описать окружность около:

  • любого четырехугольника, у которого два противоположных угла прямые
  • любого прямоугольника (частный случай квадрат)
  • любой равнобедренной трапеции
  • любого четырехугольника, у которого сумма противоположных углов равна 180 градусов
  • любого четырехугольника, у которого пересекаются в одной точке четыре серединных перпендикуляра его сторон (или медиатрисы его сторон, то есть перпендикуляры к сторонам, проходящие через их середины)
  • Первая теорема Птолемея. У четырёхугольника, вписанного в окружность, произведение длин диагоналей равно сумме произведений длин пар противоположных сторон:[4]:
 |AC|\cdot |BD| = |AB|\cdot |CD|+|BC|\cdot |AD|. .

\frac{|AC|}{|BD|} = \frac{|AB|\cdot |AD|+|BC|\cdot |CD|}{|AB|\cdot |BC|+|CD|\cdot|AD| }.


S=\sqrt{(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)}

Для многоугольника[править | править вики-текст]

  • Если из отрезков составить многоугольник, то его площадь будет максимальна, когда он вписанный.
  • Если точка равноудалена от вершин многоугольника, то она совпадает с центром окружности, описанной около этого многоугольника.

В сферическом треугольнике[править | править вики-текст]

Описанная окружность для сферического треугольника — это окружность, содержащая все его вершины.

  • Если A, B, C — углы сферического треугольника, P — их полусумма, то тангенс радиуса[6] описанной окружности будет равен[7]:78,83
\operatorname{tg}R=\sqrt{\frac{-\cos P}{\cos (P-A)\cos (P-B)\cos (P-C)}}\,
  • Описанная окружность принадлежит сфере. Радиус, проведенный из центра сферы через центр описанной окружности пересечет сферу в точке пересечения серединных перпендикуляров (больших кругов сферы, перпендикулярных сторонам в их середине) к сторонам сферического треугольника[7]:21-22.


См. также[править | править вики-текст]

Логотип Викисловаря
В Викисловаре есть статья «окружность»

Примечания[править | править вики-текст]

  1. Акопян А. В., Заславский А. А.. Геометрические свойства кривых второго порядка. — 2-е изд., дополн.. — 2011. — С. 110.
  2. Акопян А. В., Заславский А. А.. Геометрические свойства кривых второго порядка. — 2-е изд., дополн.. — 2011. — С. 27—28.
  3. 1 2 Yiu, 2010, с. 175–209
  4. Теорема Птолемея
  5. Четырёхугольники. Вписанные четырёхугольники .
  6. Здесь радиус окружности измеряется по сфере, то есть представляет собой градусную меру дуги большого круга, соединяющей точку пересечения радиуса сферы, проведенного из центра сферы через центр окружности, со сферой и вершину треугольника.
  7. 1 2 Степанов Н. Н. Сферическая тригонометрия. — М.—Л.: ОГИЗ, 1948. — 154 с.

Литература[править | править вики-текст]

Ссылки[править | править вики-текст]