Описанный четырёхугольник

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску
Пример описанного четырёхугольника

В евклидовой геометрии описанный четырёхугольник — это выпуклый четырёхугольник, стороны которого являются касательными к одной окружности внутри четырёхугольника. Эта окружность называется вписанной в четырёхугольник. Описанные четырёхугольники являются частным случаем описанных многоугольников.

Все треугольники имеют вписанные окружности, но не все четырёхугольники. Примером четырёхугольника, в который нельзя вписать окружность, может служить прямоугольник, не являющийся квадратом. Раздел «Свойства» ниже даёт необходимые и достаточные условия, чтобы четырёхугольник был описанным.

Специальные случаи[править | править код]

Примерами описанных четырёхугольников могут служить дельтоиды, которые включают ромбы, которые, в свою очередь, включают квадраты. Дельтоиды — это в точности те описанные четырёхугольники, которые также являются ортодиагональными [1]. Если четырёхугольник является описанным и вписанным четырёхугольником, он называется бицентральным[en].

Свойства[править | править код]

или . Точки касания образуют вписанный четырёхугольник.

В описанном четырёхугольнике четыре биссектрисы пересекаются в центре окружности. И наоборот, выпуклый четырёхугольник, в котором четыре биссектрисы пересекаются в одной точке, должен быть описанным, и точка пересечения биссектрис является центром вписанной окружности[2].

Согласно теореме Пито две пары противоположных сторон в описанном четырёхугольнике в сумме дают одно и то же число, которое равно полупериметру s четырёхугольника:

Обратно — четырёхугольник, в котором a + c = b + d, должен быть описанным. [3][2]

Если противоположные стороны в выпуклом четырёхугольнике ABCD (не являющийся трапецией) пересекаются в точках E и F, то они являются касательными к окружности тогда и только тогда, когда [2]

или

Второе равенство почти то же, что и равенство в теореме Уркхарта[en]. Разница только в знаках — в теореме Уркхарта суммы, а здесь разности (см. рисунок справа).

Другое необходимое и достаточное условие — выпуклый четырёхугольник ABCD является описанным в том и только в том случае, когда вписанные в треугольники ABC и ADC окружности касаются друг друга[4].

Описание по углам, образованным диагональю BD со сторонами четырёхугольника ABCD, принадлежит Иосифеску (Iosifescu). Он в 1954 доказал, что выпуклый четырёхугольник имеет вписанную окружность тогда и только тогда, когда [5]

Далее выпуклый четырёхугольник со сторонами a, b, c, d является описанным тогда и только тогда, когда

,

где Ra, Rb, Rc, Rd являются радиусами окружностей, внешне касательным сторонам a, b, c, d соответственно и продолжениям смежных сторон с каждой стороны [6].

Некоторые другие описания известны для четырёх треугольников, образованных диагоналями.

Специальные отрезки[править | править код]

Восемь отрезков касательных описанного четырёхугольника являются отрезками между вершинами и точками касания на сторонах. В каждой вершине имеется два равных касательных отрезка.

Точки касания образуют вписанный четырёхугольник.

Площадь[править | править код]

Нетригонометрические формулы[править | править код]

Площадь K касательного четырёхугольника задаётся формулой

,

где sполупериметр и rрадиус вписанной окружности. Ещё одна формула[7]

,

дающая площадь в терминах диагоналей p, q и сторон a, b, c, d касательного четырёхугольника.

Площадь можно представить также в терминах касательных отрезков (см. выше). Если их обозначить через e, f, g, h, то касательный четырёхугольник имеет площадь [1]

Более того, площадь касательного четырёхугольника можно выразить в терминах сторон a, b, c, d и соответствующих длин касательных отрезков e, f, g, h[8]

Поскольку eg = fh в том и только в том случае, когда он также является вписанным, [9] получаем, что максимальная площадь может достигаться только на четырёхугольниках, которые являются и описанными, и вписанными одновременно.

Тригонометрические формулы[править | править код]

Тригонометрическая формула для площади в терминах сторон a, b, c, d и двух противоположных сторон [7][10][11][12]

Для заданного произведения сторон площадь будет максимальной, когда четырёхугольник является также вписанным. В этом случае , поскольку противоположные углы являются дополнительными. Это можно доказать и другим способом, используя математический анализ[13].

Ещё одна формула площади описанного четырёхугольника ABCD, использующая два противоположных угла[11]

,

где O является центром вписанной окружности.

Фактически площадь можно выразить в терминах лишь двух смежных сторон и двух противоположных углов [7]

Есть ещё одна формула[7]

где θ угол (любой) между диагоналями. Формула неприменима к случаю дельтоидов, поскольку в этом случае θ равен 90° и тангенс не определён.

Неравенства[править | править код]

Как упомянуто было вскользь выше, площадь касательного многоугольника со сторонами a, b, c, d удовлетворяет неравенству

и равенство достигается тогда и только тогда, когда четырёхугольник является бицентральным[en].

Согласно Т. А. Ивановой (1976), полупериметр s описанного четырёхугольника удовлетворяет неравенству

,

где r — радиус вписанной окружности. Неравенство превращается в равенство тогда и только тогда, когда четырёхугольник является квадратом. [14] Это означает, что для площади K = rs, выполняется неравенство

с переходом в равенство в том и только в том случае, когда четырёхугольник — квадрат.

Свойства частей четырёхугольника[править | править код]

Описанный четырёхугольник с радиусом вписанной окружности r.

Четыре отрезка прямых между центром вписанной окружности и точками касания делят четырёхугольник на четыре прямоугольных дельтоида[en].

Если прямая делит описанный четырёхугольник на два многоугольника с равными площадями и равными периметрами, то эта линия проходит через инцентр[2].

Радиус вписанной окружности[править | править код]

Радиус вписанной окружности описанного четырёхугольника со сторонами a, b, c, d задаётся формулой [7]

,

где K — площадь четырёхугольника, а s — полупериметр. Для описанных четырёхугольников с заданным полупериметром радиус вписанной окружности максимален, когда четырёхугольник является одновременно и вписанным.

В терминах отрезков касательных радиус вписанной окружности [15][16].

Радиус вписанной окружности можно выразить также в терминах расстояния от инцентра O до вершин описанного четырёхугольника ABCD. Если u = AO, v = BO, x = CO и y = DO, то

,

где [17].

Формулы для углов[править | править код]

Если e, f, g и h отрезки касательных от вершин A, B, C и D соответственно к точкам касания окружности четырёхугольником ABCD, то углы четырёхугольника можно вычислить по формулам[1]

Угол между хордами KM и LN задаётся формулой[1](см. рисунок)

Диагонали[править | править код]

Если e, f, g и h являются отрезками касательных от A, B, C и D до точек касания вписанной окружности четырёхугольником ABCD, то длины диагоналей p = AC и q = BD равны[18]

Хорды точек касания[править | править код]

Если e, f, g и h являются отрезками от вершин до точек касания, то длины хорд до противоположных точек касания равны[1]

где хорда k соединяет стороны с длинами a = e + f и c = g + h, а хорда l соединяет стороны длиной b = f + g и d = h + e. Квадрат отношения хорд удовлетворяет соотношению [1]

Две хорды

Хорда между сторонами AB и CD в описанном четырёхугольнике ABCD длиннее, чем хорда между сторонами BC и DA тогда и только тогда, когда средняя линия между сторонами AB и CD короче, чем средняя линия между сторонами BC и DA[21].

Если описанный четырёхугольник ABCD имеет точки касания M на AB и N на CD и хорда MN пересекает диагональ BD в точке P, то отношение отрезков касательных равно отношению отрезков диагонали BD.[22]

Коллинеарные точки[править | править код]

Прямая Нагеля QO и ортоцентры HM, HN, HK, HL

Если M1 и M2 являются серединами диагоналей AC и BD соответственно в описанном четырёхугольнике ABCD с центром вписанной окружности O, а пары противоположных сторон пересекаются в точках E и F и M3 — середина отрезка EF, тогда точки M3, M1, O, и M2 лежат на одной прямой[23] Прямая, соединяющая эти точки, называется прямой Ньютона четырёхугольника.

Если продолжения противоположных сторон описанного четырёхугольника пересекаются в точках E и F, а продолжения противоположных сторон четырёхугольника, образованного точками касания, пересекаются в точках T и S, то четыре точки E, F, T и S лежат на одной прямой[24]

Если вписанная окружность касается сторон AB, BC, CD, DA в точках M, K, N и L соответственно, и если TM, TK, TN, TL являются изотомически сопряжёнными точками этих точек (то есть M = BM и т.д.), то точка Нагеля определяется как пересечение прямых TNTM и TKTL. Обе эти прямые делят периметр четырёхугольника на две равные части. Однако важнее то, что точка Нагеля Q, "центроид площади" G и центр вписанной окружности O лежат на одной прямой, и при этом QG = 2GO. Эта прямая называется прямой Нагеля описанного четырёхугольника[25].

В описанном четырёхугольнике ABCD с центром вписанной окружности O, в котором диагонали пересекаются в точке P, пусть HM, HK, HN, HL являются ортоцентрами треугольников AOB, BOC, COD и DOA соответственно. Тогда точки P, HM, HK, HN и HL лежат на одной прямой.[11]

Конкурентные и перпендикулярные прямые[править | править код]

Две диагонали четырёхугольника и две хорды, соединяющие противоположные точки касания (противоположные вершины вписанного четырёхугольника), конкурентны (т.е. пересекаются в одной точке).[12] Для того, чтобы показать это, можно воспользоваться частным случаем теоремы Брианшона, которая утверждает, что шестиугольник, все стороны которого касаются коническое сечение, имеет три диагонали, пересекающиеся в одной точке. Из описанного четырёхугольника легко получить шестиугольник с двумя углами по 180° путём вставки двух новых вершина противоположных точках касания. Все шесть сторон полученного шестиугольника являются касательными вписанной окружности, так что его диагонали пересекаются в одной точке. Но две диагонали шестиугольника совпадают с диагоналями четырёхугольника, а третья диагональ проходит через противоположные точки касания. Повторив те же рассуждения для двух других точек касания, получим требуемый результат.

Если вписанная окружность касается сторон AB, BC, CD и DA в точках M, K, N, L соответственно, то прямые MK, LN и AC конкурентны.[11]

Если продолжения противоположных сторон описанного четырёхугольника пересекаются в точках E и F, а диагонали пересекаются в точке P, то прямая EF перпендикулярна продолжению OP, где O — центр вписанной окружности[26].

Свойства вписанной окружности[править | править код]

Отношения двух противоположных сторон описанного четырёхугольника можно выразить через расстояния от центра вписанной окружности O до соответствующих сторон[11]

Произведение двух смежных сторон описанного четырёхугольника ABCD с центром вписанной окружности O удовлетворяет соотношению[27]

Если O — центр вписанной окружности четырёхугольника ABCD, то[11]

Центр вписанной окружности O совпадает с "центроидом вершин" четырёхугольника в том и только в том случае, когда[11]

Если M1 и M2 являются серединами диагоналей AC и BD соответственно, то[11][28]

где e, f, g и h — отрезки касательных в вершинах A, B, C и D соответственно. Комбинируя первое равенство с последним, получим, что "центроид вершин" описанного четырёхугольника совпадает с центом вписанной окружности тогда и только тогда, когда центр вписанной окружности лежит посередине между средними точками диагоналей.

Если четырёхзвенный механизм выполнен в виде описанного четырёхугольника, четырёхугольник остаётся описанным независимо от его деформации, при условии, что четырёхугольник остаётся выпуклым[29][30] (Так, например, при деформации квадрата в ромб четырёхугольник остаётся описанным, хотя вписанная окружность будет меньшего размера). Если при деформации одна сторона зафиксирована, то при деформации четырёхугольника центр вписанной окружности движется по окружности радиуса , где a,b,c,d — стороны, а s — полупериметр.

Свойства четырёх внутренних треугольников[править | править код]

Описание Чао и Симеонова (Chao, Simeonov) в терминах радиусов окружностей, вписанных в каждый из четырёх и треугольников

Для непересекающихся треугольниках APB, BPC, CPD, DPA, образованных диагоналями выпуклого четырёхугольника ABCD, где диагонали пересекаются в точке P, имеются следующие свойства.

Пусть r1, r2, r3 и r4 означают радиусы вписанных окружностей треугольников APB, BPC, CPD и DPA соответственно. Чао и Симеонов доказали, что четырёхугольник является описанным тогда и только тогда, когда[31]

Это свойство было доказано пятью годами ранее Вайнштейном[32][33]. В решении его задачи похожее свойство было дано Васильевым и Сендеровым. Если через hM, hK, hN и hL обозначить высоты тех же треугольников (опущенных из пересечения диагоналей P), то четырёхугольник является описанным тогда и только тогда, когда [5][33]

Ещё одно похожее свойство относится к радиусам вневписанных окружностей rM, rK, rN и rL для тех же четырёх треугольников (четыре вневписанные окружности касаются каждой из сторон четырёхугольника и продолжений диагоналей). Четырёхугольник является описанным в том и только в том случае, когда [34]

Если RM, RK, RN и RL — радиусы описанных окружностей треугольников APB, BPC, CPD и DPA соответственно, то треугольник ABCD является описанным тогда и только тогда, когда [35]

В 1996 Вайнштейн, похоже, был первым, кто доказал ещё одно замечательное свойство описанных четырёхугольников, которое позднее появилось в нескольких журналах и сайтах[36]. Свойство утверждает, что если выпуклый четырёхугольников разделён на четыре неперекрывающихся треугольника его диагоналями, центры вписанных окружностей этих треугольников лежат на одной окружности тогда и только тогда, когда четырёхугольник является описанным. Фактически центры вписанных окружностей образуют ортодиагональный вписанный четырёхугоольник [37]. Здесь вписанные окружности можно заменить на вневписанные (касающиеся стороны и продолжения диагоналей четырёхугольника). Тогда выпуклый четырёхугольник является описанным тогда и только тогда, когда центры вневписанных окружностей являются вершинами вписанного четырёхугольника[38].

Выпуклый четырёхугольник ABCD, в котором диагонали пересекаются в точке P, является описанным тогда и только тогда, когда четыре центра вневписанных окружностей треугольников APB, BPC, CPD и DPA лежат на одной окружности[39] (здесь вневписанные окружности пересекают стороны четырёхугольника, в отличие от аналогичного утверждения выше, где вневписанные окружности лежат вне четырёхугольника). Если Rm, Rn, Rk и Rl — радиусы вневписанных окружностей APB, BPC, CPD и DPA соответственно, противоположных вершинам B и D, то ещё одним необходимым и достаточным условием того, что четырёхугольник является описанным, будет [40]

Далее выпуклый четырёхугольник, в котором диагонали пересекаются в точке P, является описанным тогда и только тогда, когда [5]

где m, k, n, l – длины сторон AB, BC, CD и DA, а ∆(APB) — площадь треугольника APB.

Обозначим отрезки, на которые точка P делит диагональ AC как AP = pa и PC = pc. Аналогичным образом P делить диагональ BD на отрезки BP = pb и PD = pd. Тогда четырёхугольник является описанным тогда и только тогда, когда выполняется одно из равенств:[41]


или [37]

или[42]

Условия для описанного четырёхугольника быть другим типом четырёхугольника[править | править код]

Описанный четырёхугольник является ромбом в том и только в том случае, когда противоположные углы равны[43].

Если вписанная окружность касается сторон AB, BC, CD, DA в точках M, K, N, L соответственно, то ABCD является также вписанным четырёхугольником тогда и только тогда, когда[19][24]

  • хорда MN перпендикулярна KL

Первое утверждение из этих трёх означает, что четырёхугольник касаний MKNL является ортодиагональным.

Описанный четырёхугольник является бицентричным (т.е. описанным и вписанным одновременно) тогда и только тогда, когда радиус вписанной окружности наибольший среди всех описанных четырёхугольников, имеющих ту же самую последовательность длин сторон[44].

Описанный четырёхугольник является дельтоидом в том и только в том случае, когда любое из нижеследующих условий выполняется:[45]

  • Площадь равна половине произведения диагоналей
  • Диагонали перпендикулярны
  • Два отрезка, соединяющие противоположные точки касания, имеют равные длины
  • Одна пара противоположных отрезков от вершины до точки касания имеют одинаковые длины
  • Средние линии имеют одинаковые длины
  • Произведения противоположных сторон равны
  • Центр вписанной окружности лежит на диагонали, являющейся осью симметрии.

Смотрите также[править | править код]

Примечания[править | править код]

  1. 1 2 3 4 5 6 Josefsson, 2010a, с. 119–130.
  2. 1 2 3 4 Andreescu, Enescu, 2006, с. 64–68.
  3. Josefsson, 2011b, с. 65.
  4. Josefsson, 2011b, с. 66.
  5. 1 2 3 Minculete, 2009, с. 113–118.
  6. Josefsson, 2012, с. 72.
  7. 1 2 3 4 5 Durell, Robson, 2003, с. 28–30.
  8. Josefsson, 2010a, с. 128.
  9. Hajja, 2008, с. 103–106.
  10. Siddons, Hughes, 1929, с. 203.
  11. 1 2 3 4 5 6 7 8 Grinberg, Darij, Circumscribed quadrilaterals revisited, 2008
  12. 1 2 Yiu, Paul, Euclidean Geometry, [1] (недоступная ссылка), 1998, pp. 156–157.
  13. Hoyt, 1986, с. 54–56.
  14. Post at Art of Problem Solving, 2012
  15. Hajja, 2008, с. 103–106б Lemma2.
  16. Hoyt, 1984, с. 239, 242.
  17. Josefsson, 2010b, с. 27–34.
  18. Hajja, 2008, с. Lemma3.
  19. 1 2 Josefsson, 2010a, с. 124.
  20. Josefsson, 2011a, с. 166.
  21. Josefsson, 2011c, с. 162.
  22. Gutierrez, Antonio, "Circumscribed Quadrilateral, Diagonal, Chord, Proportion", [2], Accessed 2012-04-09.
  23. Andreescu, Enescu, 2006, с. 42.
  24. 1 2 Josefsson, 2010c, с. Cor.3.
  25. Myakishev, 2006, с. 289–295.
  26. Josefsson, 2010c, с. Cor.4.
  27. "Ineq-G126 - Geometry - very nice!!!!", Post at Art of Problem Solving, 2011, [3]
  28. "Determine ratio OM/ON", Post at Art of Problem Solving, 2011
  29. Barton, 1926, с. 462–465.
  30. Bogomolny.
  31. Chao, Simeonov, 2000, с. 657–658.
  32. Josefsson, 2011a, с. 169.
  33. 1 2 Вайнштейн, Васильев, Сендеров, 1995, с. 27–28.
  34. Josefsson, 2011b, с. 70.
  35. Josefsson, 2012b, с. 23–24.
  36. Josefsson, 2011b, с. 72-73.
  37. 1 2 Josefsson, 2011b, с. 74.
  38. Josefsson, 2011b, с. 73.
  39. Josefsson, 2011b, с. 79.
  40. Josefsson, 2011b, с. 80.
  41. Hoehn, 2011, с. 211–212.
  42. Josefsson, 2011b, с. 77.
  43. De Villiers, 2011, с. 102–107.
  44. Hess, 2014, с. 392-393.
  45. Josefsson, 2011a, с. 165–174.

Ссылки[править | править код]

  • Titu Andreescu, Bogdan Enescu Mathematical Olympiad Treasures. — Birkhäuser, 2006.
  • Helen On a circle attached to a collapsible four-bar // American Mathematical Monthly. — 1926. — Т. 33, вып. 9.
  • Alexander Bogomolny When A Quadrilateral Is Inscriptible? // Interactive Mathematics Miscellany and Puzzles.
  • C.V. Durell, A. Robson Advanced Trigonometry // Dover reprint. — 2003.
  • Victor Bryant, John Duncan Wheels within wheels // Mathematical Gazette. — 2010. — Вып. 94, November.
  • Albrecht Hess On a circle containing the incenters of tangential quadrilaterals // Forum Geometricorum. — 2014. — Т. 14.
  • Wu Wei Chao, Plamen Simeonov When quadrilaterals have inscribed circles (solution to problem 10698) // American Mathematical Monthly. — 2000. — Т. 107, вып. 7. — DOI:10.2307/2589133.
  • Mowaffaq Hajja A condition for a circumscriptible quadrilateral to be cyclic // Forum Geometricorum. — 2008. — Т. 8.

Larry Hoehn A new formula concerning the diagonals and sides of a quadrilateral. — 2011. — Т. 11.

  • Martin Josefsson Calculations concerning the tangent lengths and tangency chords of a tangential quadrilateral // Forum Geometricorum. — 2010a. — Т. 10.

Martin Josefsson On the inradius of a tangential quadrilateral // Forum Geometricorum. — 2010b. — Т. 10.

  • Martin Josefsson Characterizations of Bicentric Quadrilaterals // Forum Geometricorum. — 2010c. — Т. 10.
  • Martin Josefsson When is a Tangential Quadrilateral a Kite? // Forum Geometricorum. — 2011a. — Т. 11.
  • Martin Josefsson More Characterizations of Tangential Quadrilaterals // Forum Geometricorum. — 2011b. — Т. 11.
  • Martin Josefsson The Area of a Bicentric Quadrilateral // Forum Geometricorum. — 2011c. — Т. 11.
  • Martin Josefsson Similar Metric Characterizations of Tangential and Extangential Quadrilaterals // Forum Geometricorum. — 2012. — Т. 12.
  • Martin Josefsson Characterizations of Orthodiagonal Quadrilaterals. — 2012b. — Т. 12.
  • Nicusor Minculete Characterizations of a Tangential Quadrilateral // Forum Geometricorum. — 2009. — Т. 9.
  • Alexei Myakishev On Two Remarkable Lines Related to a Quadrilateral // Forum Geometricorum. — 2006. — Т. 6.
  • A.W. Siddons, R.T. Hughes Trigonometry. — Cambridge Univ. Press, 1929.
  • И. Вайнштейн, Н. Васильев, В. Сендеров (Решение задачи) M1495 // Квант. — 1995. — Вып. 6.
  • Michael De Villiers Equiangular cyclic and equilateral circumscribed polygons // Mathematical Gazette. — 2011. — Вып. 95, March.

Внешние ссылки[править | править код]