Определитель Грама |
Определяющая формула |
 |
Определителем Грама (грамианом) системы векторов
в евклидовом пространстве называется определитель матрицы Грама этой системы:

где
— скалярное произведение векторов
и
.
Матрица Грама возникает из следующей задачи линейной алгебры:
Пусть в евклидовом пространстве
система векторов
порождает подпространство
. Зная, чему равны скалярные произведения вектора
из
с каждым из этих векторов, найти коэффициенты разложения вектора
по векторам
.
Исходя из разложения

получается линейная система уравнений с матрицей Грама:

Эта задача однозначно разрешима тогда и только тогда, когда векторы
линейно независимы. Поэтому обращение в ноль определителя Грама системы векторов — это критерий их линейной зависимости.
Геометрический смысл определителя Грама раскрывается при решении следующей задачи:
Пусть в евклидовом пространстве
система векторов
порождает подпространство
. Зная скалярные произведения вектора
из
с каждым из этих векторов, найти расстояние от
до
.
Минимум расстояний
по всем векторам
из
достигается на ортогональной проекции вектора
на
. При этом
, где вектор
перпендикулярен всем векторам из
, и расстояние от
до
равно модулю вектора
. Для вектора
решается задача о разложении (см. выше) по векторам
, и решение получившейся системы выписывается по правилу Крамера:

где
— определитель Грама системы. Вектор
равен:

и квадрат его модуля равен

Из этой формулы индукцией по
получается следующее утверждение:
- Определитель Грама системы
векторов равен квадрату объёма
-мерного параллелепипеда, натянутого на эти векторы. Отсюда видно, что в случае трёхмерного пространства определитель Грама трёх векторов равен квадрату их смешанного произведения.