Ортогональная система

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Ортогона́льная систе́ма элементов векторного пространства со скалярным произведением — такое подмножество векторов , что любые различные два из них ортогональны, то есть их скалярное произведение равно нулю:

.

Ортогональная система в случае её полноты может быть использована в качестве базиса пространства. При этом разложение любого элемента может быть вычислено по формулам: , где .

Случай, когда норма всех элементов , называется ортонормированной системой.

Ортогонализация[править | править код]

По любой линейно независимой системе можно построить ортонормированную систему, применив процесс ортогонализации Грама ― Шмидта.

Любая полная линейно независимая система в конечномерном пространстве является базисом. От простого базиса, следовательно, можно перейти к ортонормированному базису.

Ортогональное разложение[править | править код]

При разложении векторов векторного пространства по ортонормированному базису упрощается вычисление скалярного произведения: , где и .

См. также[править | править код]