Ортогональная система координат

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Ортогональными называются координаты в которых метрический тензор имеет диагональный вид.

где d размерность пространства. Скалярный фактор

равен корню квадратному от диагональных компонент метрического тензора, или длине локального базисного вектора ek .

В ортогональных системах координат q = (q1, q2, …, qd) координатные поверхности ортогональны друг другу. В частности, в декартовой системе координат ортогональны друг другу координатные оси Ox, Oy и Oz. Ортогональные координаты представляют собой частный случай криволинейных координат. Наиболее часто в качестве ортогональных координат используются декартовы координаты, так как именно в этих координатах большинство уравнений имеют наиболее простой вид. Прочие системы ортогональных координат используются реже, в частности, для решения краевых задач, таких как задача о теплопроводности, диффузии и т. д. Выбор той или иной системы ортогональных координат определяется симметрией системы. Например, при решении задачи о распространении электромагнитной волны от точечного источника выгодно пользоваться сферической системой координат; при решении задачи о колебании мембраны предпочтительней цилиндрическая система координат.

Математические преобразования[править | править вики-текст]

Базисные векторы[править | править вики-текст]

В ортогональных системах скалярное произведение базисных векторов равно:

В большинстве случаев используют нормированные базисные векторы, для которых

Для нормированных базисных векторов , где

 — символ Кронекера.

Скалярное произведение[править | править вики-текст]

Скалярное произведение векторов в ортогональных системах вычисляется по формуле:

Векторное произведение[править | править вики-текст]

Векторное произведение в ортогональных системах координат вычисляется по формуле: