Ортогональные функции

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Две, в общем случае, комплекснозначные функции и , принадлежащие пространству Лебега , где  — измеримое множество называются ортогональными, если

Для векторных функций вводится скалярное произведение функций под интегралом, а также интегрирование по отрезку заменяется на интегрирование по области соответствующей размерности.


Полезным обобщением понятия ортогональности является ортогональность с определённым весом. Ортогональны с весом функции и , если

где  — скалярное произведение векторов и  — значений векторнозначных функций и в точке ,  — точка области , а  — элемент её объёма (меры). Эта формула записана наиболее общим способом по сравнению со всеми выше. В случае вещественных скалярных , скалярное произведение следует заменить на обычное; в случае комплексных скалярных , : .


Требование принадлежности функций пространству связано с тем, что при пространства не образуют евклидова пространства, а потому на них невозможно ввести скалярное произведение, а вместе с ним и ортогональность.

Пример[править | править вики-текст]

  1. и являются ортогональными функциями на интервале
  2. ) и , где  — целое, ортогональны на интервале
  3. и ортогональны на интервале

См. также[править | править вики-текст]