Ортотреугольник

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску
Altitudes and orthic triangle SVG.svg

Ортотреуго́льник (ортоцентрический треугольник) — это треугольник Δabc, вершины которого являются основаниями высот треугольника ∆ABC. Для ортотреуго́льника (для ортоцентрического треугольника) Δabc сам треугольник ∆ABC является треугольником трёх внешних биссектрис. То есть отрезки AB, BC и CA являются тремя внешними биссектрисами треугольника Δabc.

Свойства[править | править код]

  • Задача Фаньяно. Ортоцентрический треугольник остроугольного треугольника АВС обладает наименьшим периметром из всех вписанных треугольников.
  • Высоты остроугольного треугольника являются биссектрисами углов его ортотреугольника (следовательно ортоцентр остроугольного треугольника является центром окружности, вписанной в его ортотреугольник).
  • Если точки A1, B1 и C1 на сторонах соответственно BC, AC и AB остроугольного треугольника ABC таковы, что
, и ,

то  — ортотреугольник треугольника ABC.

  • Если вокруг данного остроугольного треугольника описать окружность и в трех вершинах треугольника провести прямые, касательные к окружности, то пересечение этих прямых образует треугольник, который называют тангенциальным треугольником по отношению к данному треугольнику.

Свойства подобия родственных треугольников[править | править код]

  • Исходный треугольник по отношению к ортотреугольнику является треугольником трех внешних биссектрис[1].
— ортотреугольник треугольника , а — треугольник Жергонна ортотреугольника. — ортоцентр , инцентр и центр описанной окружности . Треугольники и подобны.

Свойства параллельности (антипараллельности) сторон родственных треугольников[править | править код]

  • Стороны данного остроугольного треугольника антипараллельны соответствующим сторонам ортотреугольника, против которых они лежат.
  • Стороны тангенциального треугольника антипараллельны соответствующим противоположным сторонам данного треугольника (по свойству антипараллельности касательных к окружности).
  • Стороны тангенциального треугольника параллельны соответствующим сторонам ортотреугольника.
  • Если точки касания вписанной в данный треугольник окружности соединены отрезками, то получится треугольник Жергонна. Пусть в полученном треугольнике проведены высоты. Тогда прямые, соединяющие основания этих высот, параллельны сторонам исходного треугольника. Следовательно, ортотреугольник треугольника Жергонна и исходный треугольник подобны.

Другие свойства[править | править код]

  • Площадь ортотреугольника равна:

где  — площадь треугольника ΔABC;  — его соответствующие стороны.

  • Окружность, описанная около ортотреугольника Δabc, для самого треугольника ΔABC является окружностью Эйлера (окружностью 9 точек), то есть одновременно проходит, через 3 основания медиан последнего. Заметим, что эти 3 основания медиан являются вершинами дополнительного треугольника для треугольника ΔABC.
  • Радиусы окружности, описанной около данного треугольника ΔABC, проведенные через его вершины, перпендикулярны соответственным сторонам ортотреугольника Δabc (Зетель, следствие 2, § 66, с. 81).

Литература[править | править код]

  • Понарин Я. П. Элементарная геометрия. В 2 т. — М.: МЦНМО, 2004. — С. 38-39. — ISBN 5-94057-170-0.
  • Зетель С. И. Новая геометрия треугольника. Пособие для учителей. 2-е издание. М.:Учпедгиз, 1962. 153 с.

Примечания[править | править код]

  1. Стариков В. Н. Исследования по геометрии// Сборник публикаций научного журнала Globus по материалам V-й международной научно-практической конференции «Достижения и проблемы современной науки» г. Санкт-Петербург: сборник со статьями (уровень стандарта, академический уровень). С-П.: Научный журнал Globus, 2016. С. 99-100

См. также[править | править код]