Эта статья входит в число избранных

Основания математики

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску

Основания математики — система общих для всей математики понятий, концепций и методов, с помощью которых строятся различные её разделы[1].

С античности и приблизительно до конца 17 века источником, описывающим основные понятия и методы математики считался трактат Евклида «Начала» (ок. 300 г. до н. э.). В нём геометрия и теория чисел представлялись как единая аксиоматическая система (на уровне строгости того времени), в которой из исходных предположений (постулатов или аксиом) с помощью выделенного набора логических средств выводились следствия о свойствах первичных понятий (точка, прямая, число и т. д.) и конструируемых из них объектов (геометрические фигуры). Несмотря на отмечавшиеся ещё в античности пробелы в рассуждениях Евклида, его построения в целом считались приемлемыми для описания всего здания тогдашней математики, и до Нового времени последовательной критики не вызывали.[2]

Положение стало меняться в конце 17 века с изобретением Исааком Ньютоном и Готфридом Вильгельмом Лейбницем дифференциального и интегрального исчислений, логическое обоснование которых долгое время оставалось непроясненным. Оно было получено лишь в середине 19 века стараниями Огюстена Коши, Карла Вейерштрасса, Бернгарда Римана и других математиков на основе предложенного Коши понятия предела, причем проведенный в связи с этим анализ выявил необходимость более детальной, чем у Евклида, систематизации элементарных свойств чисел.

Одновременно с этим появились свидетельства в пользу необходимости пересмотра другой части евклидовых построений, а именно, конструкций, описывающих геометрические объекты. Открытия Николая Лобачевского и Яноша Больяи показали, что, помимо евклидовой геометрии, опирающейся на, как казалось до этого, наиболее интуитивно очевидные аксиоматические предположения, возможны альтернативные геометрии, выводимые из других аксиом, но с такой же достоверностью способные описывать явления природы.

Возникшее у математиков в связи с этим понимание, что фундамент их науки следует перенести в более глубинные её области, оперирующие с объектами, более простыми, чем числа и геометрические фигуры (но такими, чтобы все остальные математические объекты можно было с их помощью построить), привело в последней четверти 19 века Георга Кантора к созданию теории множеств, быстро завоевавшей популярность в качестве нового языка математики. Однако обнаруженные в начале 20 века противоречия в теории Кантора спровоцировали кризис в математике, выявив необходимость пересмотра её оснований.[2]

Предпринятые вслед за этим исследования в этой области привели к уточнению (формализации) понятий «аксиоматическая система» и «доказательство», перестройке на этой основе математической логики, и к построению формальных аксиоматических теорий множеств, признаваемых ныне фундаментом всей математики.[3]

Главные идеи и результаты[править | править код]

Никола Бурбаки определяет математику как «науку об отношениях между объектами, о которых ничего не известно, кроме описывающих их некоторых свойств, — именно тех, которые в качестве аксиом положены в основание той или иной математической теории».[4]

Предельная идеализация объектов математики может казаться препятствием к их изучению, однако ещё в древности было замечено, что одним из следствий этой идеализации является, наоборот, возможность установления многочисленных связей между рассматриваемыми объектами вплоть до построения иерархии между ними с выделением элементарных объектов, из которых строятся все остальные[5]. В античной математике такими элементарными объектами были (понимаемые в значительной мере интуитивно) числа и геометрические формы (точка, линия, поверхность и т. д.)[6]. В современной математике ими являются множества.[3]

Этот факт можно считать результатом двух важных наблюдений, сделанных на самом начальном этапе развития теории множеств:

  1. Декартово произведение двух множеств и можно определить как множество упорядоченных пар , с и , в котором сами упорядоченные пары определяются как множества вида (состоящие из двух элементов, и , причем второй элемент — это множество из двух элементов, и ).[7][8][9][10][11]
  2. Функцию или отображение множества в множество можно также определить как некое множество, а именно, как подмножество в декартовом произведении , удовлетворяющее следующим двум условиям:[12][8][13][14]
для любого существует , такой что »),
(«если и , то »).
Первое условие здесь означает, что каждому аргументу сопоставлено некоторое значение функции , а второе — что это значение единственно.

Из этих наблюдений следует вывод, серьёзно повлиявший на отношение современников к теории множеств Кантора: все математические объекты, за исключением тех, которые используются в описании самого понятия множества, можно определить как множества с подходящими свойствами.

♦ Как иллюстрация, теория чисел может быть представлена как часть теории множеств, её дефинициальное расширение[en], если заметить, что изучаемые ею объекты — числа — допускают описания как множества специального вида:[15][16][17]
  • Натуральные (неотрицательные целые) числа  естественно определяются как конечные ординалы (с отношением порядка и операциями сложения и умножения для ординалов)[18][19][20].
  • Целые числа  затем определяются как элементы фактормножества декартова квадрата множества натуральных чисел, по отношению эквивалентности
с отношением порядка[21]
и алгебраическими операциями
и при этом вложение в описывается формулой
.
Класс эквивалентности интерпретируется как целое число в обычной записи (с ).
с отношением порядка[23]
и алгебраическими операциями
и при этом вложение в описывается формулой
.
Класс эквивалентности интерпретируется как рациональное число в обычной записи (с , ).
  • Вещественные числа  определяются как дедекиндовы сечения множества рациональных чисел (с индуцированными из алгебраическими операциями и отношением порядка).
  • Комплексные числа  — как элементы декартова квадрата множества вещественных чисел с алгебраическими операциями
,
и при этом вложение в описывается формулой
.
Мнимая единица определяется в этой конструкции как пара , и вместе с предыдущими обозначениями это дает тождество
интерпретируемое как обычная алгебраическая запись комплексного числа.
♦ Другая иллюстрация: математический анализ, как теория, описывающая свойства функций на вещественных числах[24], может считаться дефинициальным расширением теории множеств, потому что обе главные его конструкции — функция (отображение) и вещественное число — как уже было сказано выше, представляют собой множества.
♦ Следующая иллюстрация: в алгебре понятие группы описывается как множество с заданной на нём операцией , отображающей декартов квадрат в , и обладающей нужными свойствами (ассоциативность, существование нейтрального элемента 1 и обратного элемента для каждого ). Поскольку, как уже объяснялось, отображения представляют собой частный случай множеств, всю конструкцию группы можно интерпретировать как множество с дополнительной структурой в виде ещё одного множества с определёнными свойствами.
♦ Основная конструкция топологии, понятие топологического пространства определяется как произвольное множество с фиксированным множеством подмножеств в , содержащим и , и замкнутым относительно объединений и конечных пересечений (такое множество подмножеств в называется топологией на множестве , а элементы  — открытыми множествами в ).
♦ Похожим образом, во всей остальной математике (исключая лишь некоторые области математической логики, служащие фундаментом для построения самой теории множеств и/или изучающие формально более общие вопросы) используемые понятия определяются как множества (возможно, некоторого специального вида) с заданными на них дополнительными структурами (которые также определяются как множества нужного вида)[25]. Таковы, в частности,

Фактически, все математические теории описываются ныне как дефинициальные расширения какой-нибудь теории множеств из разработанного для этих целей стандартного списка[26] (причем в подавляющем большинстве случаев подходит любая теория из этого списка), и именно по этой причине теория множеств считается в наше время языком математики.[3]

Развитие математики показало, что понятие множества само по себе требует аккуратного определения, чтобы недосказанности в понимании его свойств не приводили к противоречиям. Для решения этой проблемы правила построения теорий, подобных тем, где должны описываться свойства множеств, были строго формализованы, и в нынешних (аксиоматических) теориях, построенных по этим новым правилам, и называемых формальными теориями или теориями первого порядка[27], элементы двусмысленности исключены, а выбираемые аксиомы проходят первичную проверку на предмет появления очевидных несуразностей.[28]

Это позволило избавиться от всех появившихся в начале 20 века противоречий в математике (правда, без гарантий, что новые противоречия не появятся в будущем[29]). С другой стороны, довольно быстро обнаружилось, что предпочтения в выборе аксиом у математиков неодинаковы, и это привело к появлению многочисленных неэквивалентных формальных теорий множеств[30]. Наибольшей популярностью среди них пользуются ныне

Считается, что у каждой из них есть свои достоинства и недостатки.[35] Теория ZF исторически появилась первой, и для большинства математических задач её обычно бывает достаточно, поэтому по употребительности она сильно опережает остальные. Однако в современных абстрактных областях математики, в частности, там, где используются методы теории категорий, как, например, в алгебре или в функциональном анализе, бывает желательно рассматривать образования, более общие, чем множества, так называемые классы, которых в ZF нет, и для этих целей обычно выбираются NBG или MK.[35] Преимуществом NBG в этом списке является её конечная аксиоматизируемость.[36][37] Но по элегантности и спектру возможностей и ZF, и NBG уступают MK.[35] Недостатком MK (как и NBG), тем не менее, является то, что в этой теории нет возможности рассматривать образования, более широкие, чем классы, содержащие произвольные классы как элементы (что также бывает желательно в некоторых математических дисциплинах, как, например, в теории категорий).[38] Эта проблема предела возможностей решается иногда добавлением к MK (и точно так же этот прием работает в ZF и NBG) аксиомы существования универсума Гротендика с последующим переименованием объектов.[39]

Вместе современные формальные теории множеств образуют некую систему с общими языком и методами (и различиями только в списках аксиом), целью которой является обеспечение математиков инструментами для построения всех остальных математических объектов, существующих, и тех, которые могут понадобиться в будущем, и эту систему теорий, вместе с той областью математики, внутри которой они строятся, математической логикой, принято называть основаниями математики. Как часть математической логики, сюда входят и альтернативные теории, где вместо множеств в качестве первичных понятий математики предлагаются другие формы, в частности, объекты абстрактных категорий, описываемых не по традиции (как конструкции в ZF, NBG или MK), а напрямую, как независимые формальные теории.[40]

История[править | править код]

Дошедшие до наших дней математические труды египетских и вавилонских математиков содержат только алгоритмы вычислений, разъясняемые на практических примерах. Никаких доказательств в них нет; неясно, каким образом открывались и обосновывались результаты, и обосновывались ли вообще. В трудах математиков Древнего Китая встречаются отдельные доказательства алгебраических и геометрических утверждений, однако единой системы логически связанных знаний они не образуют[41][42].

Античный период[править | править код]

Само понятие обоснования математики могло появиться только тогда, когда была создана целостная система математических знаний, основанная на логическом (дедуктивном) выведении одних математических истин из других (в конечном счёте — из не вызывающих сомнений аксиом). Идейные мотивы древнегреческой математики разработала пифагорейская школа, которая ввела логическое доказательство как необходимый компонент математической теории и разработала методологию доказательства, в том числе «доказательство от противного»[43]. Базовыми объектами пифагорейцев были натуральные числа (дроби у них считались не числами, а пропорциями). Философской основой пифагорейской математики было убеждение в том, что Вселенная была создана по математическому плану, «всё есть число», из чего следовало, что законы природы познаваемы, существует только одна математика, и она содержит систему абсолютных, вечных истин. Неизменно успешное применение математики в астрономии (особенно предсказание затмений), в музыке, оптике и землемерии считалось подтверждением этих взглядов. Платон пошёл даже дальше и провозгласил, что математические объекты реальны в неком идеальном «мире идей», тенью которого является мир, воспринимаемый нашими органами чувств[44].

Геометрические исследования пифагорейцев, основанные на идеализированных понятиях точек, линий и других фигур, вызвали ещё в V веке до н. э. критику со стороны Зенона Элейского, который своими апориями поставил вопрос — как реальный путь движения может состоять из непротяжённых точек. Эта проблема (дискретность или непрерывность пространства и времени) обсуждается в философии науки до сих пор[45][46].

В V веке до н. э. разразился первый кризис оснований математики[47] — пифагорейцы обнаружили, что диагональ квадрата несоизмерима с его стороной, то есть их отношение () нельзя выразить ни натуральным числом, ни дробью. Найти выход сумел в IV веке до н. э. Евдокс Книдский — он ввёл, наряду с числами, понятие геометрических величин (длин, площадей, объёмов). Для однородных величин были определены арифметические операции, аналогичные числовым[2].

Постулаты Евклида

Первой целостной системой оснований математики стали «Начала» Евклида (III век до н. э.), надолго ставшие образцом математической теории и фундаментом последующих достижений (о предшественниках Евклида, которые несомненно существовали, практически ничего не известно). Этот труд, следуя Евдоксу, положил в основу математики вместо арифметики геометрию. Правила логического вывода были ранее, в IV веке до н. э., подробно изложены Аристотелем. В первой книге «Начал» Евклид даёт 14 аксиом геометрии и арифметики (первые пять часто называют постулатами), затем из них логически выводятся многочисленные теоремы. Каждая теорема выводится либо из аксиом, либо из других теорем (истинность которых ранее уже была доказана), и согласно законам логики Аристотеля новая теорема также является истинной. Теория величин Евдокса (по существу, краткий вариант современной теории вещественных чисел) изложена Евклидом в пятой книге его «Начал» и использовалась в Европе до XVII века. Арифметика величин моделировалась Евклидом на основе действий с отрезками, прямоугольниками и параллелепипедами[2][48].

Уже в античные времена были критически отмечены недостатки евклидовского труда — например, Архимед обосновал необходимость добавить «аксиому Архимеда» (которую сформулировал ещё Евдокс). Со временем число признанных недостатков постепенно увеличивалось[49]. Количество аксиом у Евклида оказалось явно недостаточным, многие его рассуждения опираются на подразумеваемую или наглядную очевидность. Прежде всего это касается понятия движения, которое неявно используется во многих местах — например, при наложении треугольников для доказательства признаков их равенства. Уже Прокл отметил этот факт как существенный методический пробел. Аксиом движения Евклид не дал — возможно, чтобы не смешивать высокую геометрию с «низкой» механикой. Современные авторы аксиоматики предусматривают специальную группу «аксиом конгруэнтности». Аксиоматика Евклида не позволяет обосновать важные для доказательств факты — например, что не существует прямой, проходящей через все три стороны треугольника, или что две окружности радиуса R, чьи центры находятся на расстоянии R, пересекаются в двух точках[50].

Сама идея построения числовой арифметики на основе геометрии оказалась стратегической ошибкой — начиная с аналитической геометрии Декарта (XVII век), математики поступают наоборот и решают геометрические задачи с помощью числовых уравнений[48][51].

Европа в XVII—XVIII веках. Второй кризис оснований[править | править код]

Европейские учёные Средневековья и начала Нового времени разделяли античные идеи о том, что в основу установленных свыше законов природы были положены математические принципы. Это означало, что люди не создают математические теории, а открывают те, что изначально были встроены в мироздание, поэтому математика единственна, неоспорима, а её истины абсолютны[52]. Рене Декарт в 1637 году писал: «Из всех, кто когда-либо занимался поиском истины в науках, только математикам удалось получить некие доказательства, то есть указать причины, очевидные и достоверные»; математику он называл «сущностью всех наук». Аналогичных взглядов придерживались Галилео Галилей, Блез Паскаль, Исаак Ньютон и другие основоположники физики. К этому моменту математика далеко переросла античную тематику — появились новые теории, новые виды чисел, другие математические объекты, обоснование которых вначале излагалось на интуитивном уровне или вовсе отсутствовало[53].

В конце XVII века произошло грандиозное событие в истории математики — Ньютон и Лейбниц создали мощные и чрезвычайно плодотворные методы математического анализа, который тогда называли «анализом (или исчислением) бесконечно малых». Сфера применения математики в самых разных науках многократно расширилась, методы её существенно углубились, и при этом результаты применения остались по-прежнему неоспоримо верными. Однако техника тогдашнего анализа существенно опиралась на алгебраические операции с новым математическим объектом — бесконечно малыми величинами, смысл которых пояснялся в довольно туманных выражениях[54]. Техника эта была довольно противоречивой — в ходе расчёта с бесконечно малыми сначала обращались как с ненулевыми числами (например, делили друг на друга), в конце же их приравнивали нулю. Новому разделу математики требовалось найти столь же строгое, как у Евклида, обоснование, однако оно появилось только полтора века спустя, в начале XIX века[55].

Состояние анализа в конце XVII — начале XIX века многие историки называют «вторым кризисом оснований математики». Крупнейшие математики этого периода — Ньютон, Лейбниц, Эйлер, Лагранж и другие — пытались дать строгое определение понятию «бесконечно малое», но ни одно из этих определений не было общепризнано как убедительное[47][56]. В 1784 году Берлинская академия наук объявила конкурс на лучшее объяснение того, «каким образом столь многие правильные теоремы были выведены из противоречивого предположения» о существовании бесконечно малых. Удовлетворительного ответа на этот вопрос получено не было. Вольтер иронически определил анализ как «искусство считать и точно измерять то, существование чего непостижимо для разума»[57].

Непрерывность функции в этот период понималась чисто интуитивно, теория вещественных чисел отсутствовала. Нечёткость оснований анализа, как выяснилось в XIX веке, привела к многочисленным ошибкам — высказывались и даже доказывались ошибочные теоремы, в других случаях чересчур широко формулировались условия теорем. Например, Андре Мари Ампер и Жозеф Луи Франсуа Бертран доказывали, что любая непрерывная функция дифференцируема, сходимость используемых рядов не проверялась. Нильс Хенрик Абель даже в 1826 году жаловался в письме: «В высших разделах анализа имеется лишь несколько теорем, доказанных с более или менее приемлемой строгостью»[58].

Влиятельный философ Кант попытался дать своё обоснование. По мнению Канта, математика открывает законы не внешнего мира, а человеческого разума, который упорядочивает природу по собственным, встроенным от рождения правилам. Аксиомы математики тогда не более чем способ организации чувственного опыта, присущий человеку. В частности, по этой причине евклидова геометрия является единственно мыслимой геометрией[59].

XIX век[править | править код]

В XIX веке вера в то, что законы математики составляют своего рода «идейный скелет» мироздания, пошатнулась[52]. Серьёзным ударом по этому мнению стали открытия XIX века — неевклидова и риманова геометрия, необычные типы чисел (особенно комплексные числа и кватернионы). Как отметили Эдвард Каснер и Джеймс Ньюмен, «неевклидова ересь» заставила заняться математическим самоанализом, то есть анализом того, как соотносятся разные части математики между собой и с математикой в целом. Всё это наводило на мысль, что выбор базовых структур математики менее однозначен и более субъективен, чем представлялось ранее[60][61].

Аксиоматизация математики[править | править код]

К началу XIX века относительно строгое логическое обоснование имела только евклидова геометрия, хотя строгость её уже тогда справедливо считалась недостаточной. В первой половине XIX века Огюстен Луи Коши наконец дал ясное обоснование анализа на основе понятия предела; при этом бесконечно малые из особого вида чисел превратились в переменные, сходящиеся к нулю. Подход Коши, правда, был ещё не вполне строгим, поскольку не включал теорию вещественных чисел. Возможно, поэтому и сам Коши не избежал ошибок — например, он был уверен, что сумма ряда непрерывных функций непрерывна и что интегрировать такие ряды всегда можно почленно. Завершил основания анализа полвека спустя Карл Вейерштрасс. В 1837 году Уильям Роуэн Гамильтон полностью легализовал отрицательные и комплексные числа, описав их строгие модели с помощью пар чисел. Сильное влияние на философию математики оказало также открытие и обоснование неевклидовой геометрии как полноценной альтернативы евклидовой[62][63].

Во второй половине XIX века произошли два важнейших события — создание теории множеств и математической логики, это позволило поставить обоснование математики на качественно новый уровень строгости. В 1879 году Фреге опубликовал систему аксиом математической логики, в 1880-е годы Пеано предложил строгую систему аксиом для натуральных чисел, а Дедекинд — для вещественных[64][65]. В 1899 году вышла в свет классическая монография Гильберта «Основания геометрии», в которой все недостатки евклидовой аксиоматики были устранены. Использованный Гильбертом в этой книге подход стал общепринятым и получил название «метаматематика»[66]. В итоге к концу XIX века почти вся математика была построена на базе строгой аксиоматики (аксиоматика теории вероятностей появилась только в 1929 году).

Теория множеств и третий кризис оснований математики[править | править код]

Георг Кантор

В 1873 году Георг Кантор ввёл понятие произвольного (конечного или бесконечного) числового множества, а затем и общее понятие множества — предельно абстрактного понятия в математике. С помощью взаимно-однозначных отображений он ввёл понятие равномощности множеств, потом определил сравнение мощностей на больше-меньше и, наконец, классифицировал множества по величине их мощности: конечные, счётные, континуальные и т. д. Тем самым в математику была введена актуальная бесконечность — понятие, которого прежние математики старательно избегали[67].

На первых порах теория множеств встретила у многих (хотя далеко не у всех) математиков доброжелательный приём. Она помогла обобщить жордановскую теорию меры, успешно использовалась в теории интеграла Лебега и многими рассматривалась как будущая основа всей математики. Однако последующие события показали, что привычная логика не годится при исследовании бесконечных объектов, а интуиция не всегда помогает сделать правильный выбор. Первое противоречие обнаружилось при рассмотрении самого большого множества — множества всех множеств (1895). Его пришлось исключить из математики как недопустимое. Однако появились и другие противоречия (антиномии)[68].

Анри Пуанкаре, который вначале принял теорию множеств и даже использовал в своих исследованиях, позже решительно отверг её и назвал «тяжёлой болезнью математики». Другая группа математиков, включая Рассела и Гильберта, выступила, с некоторыми оговорками, в защиту «канторизма»[69]. Во избежание парадоксов Рассел (1905), Пуанкаре (1906), а вслед за ними Герман Вейль (1918), потребовали, чтобы все определения и аксиомы математики были предикативными, то есть определяемый математический объект X не должен задаваться или описываться через класс объектов, содержащий X, потому что тогда получается порочный круг и возможны противоречия. Анализ этого требования показал, что оно, с одной стороны, недостаточно, так как не предотвращает полностью появления парадоксов, а с другой стороны, делает незаконными некоторые классические определения, например точной верхней и нижней границы множества[70][71].

Создавшееся положение многими расценивалось как третий кризис оснований математики. Положение усугубило открытие «аксиомы выбора» (1904, Цермело), которая, как оказалось, неосознанно применялась во многих математических доказательствах (например, в теории вещественных чисел). Эта аксиома объявляет существующим множество, о составе которого ничего не известно[источник не указан 364 дня (обс.)], и это обстоятельство ряд математиков (среди них Эмиль Борель и Феликс Бернштейн) посчитал совершенно неприемлемым, тем более что некоторые следствия аксиомы выбора противоречили интуиции (парадокс Банаха — Тарского и др.). В отношении аксиомы выбора у математиков имеются четыре возможности: принять, отвергнуть, принять в ограниченном виде (например, только аксиому счётного выбора) или принять альтернативную аксиому детерминированности. При этом нет убедительных объективных оснований предпочесть один из этих вариантов. Все эти споры поставили трудный вопрос — что вообще означает в математике понятие «существования»? Например, было доказано, что поле вещественных чисел можно вполне упорядочить, но какое-либо описание этого порядка отсутствует[72][73].

XX век[править | править код]

Основные направления разработки оснований математики[править | править код]

В начале XX века удалось согласовать аксиоматику теории множеств, свободную от обнаруженных ранее противоречий, так что большинство математиков приняли теорию множеств. Тем не менее, былого единства математики больше нет, часть научных школ стали развивать альтернативные взгляды на обоснование математики. Историки выделяют четыре основных направления поисков общеприемлемых оснований математики, которые в первой половине XX века вели между собой непримиримую полемику[2].

Логицизм[править | править код]
Основные статьи: Логицизм и Principia Mathematica

Идеи логицизма Бертран Рассел изложил в своей совместной с Альфредом Уайтхедом трёхтомной монографии «Principia Mathematica» (1910—1913), которая внесла заметный вклад в развитие математической логики. Логицизм утверждает, что математика и логика — единое целое, то есть понятий и законов логики достаточно не только для вывода теорем, но и для определения математических понятий. Первым сходные взгляды высказал Готлоб Фреге (1884). В книге Рассела и Уайтхеда авторы дают аксиомы логики, первичными (неопределяемыми) понятиями служат высказывания, истинность, логические операции, пропозициональные функции[74].

Авторы последовательно выводят из аксиом основное содержание математической логики, затем переходят к классам (множествам). Задав некоторое свойство с помощью пропозициональной функции, можно определить конкретное множество (носителей этого свойства). В отношении множеств аксиоматика Рассела и Уайтхеда включает в себя аксиому выбора и аксиому бесконечности (последняя обеспечивает существование бесконечных множеств). Во избежание парадоксов авторы сразу запрещают множества, содержащие самих себя, с помощью специально построенной ими «теории типов». Множества и высказывания строго разделяются по уровню их типов, произвольное смешение типов невозможно. Такая организация исключает все известные парадоксы, однако значительно усложняет формулировки, поскольку, например, натуральные и вещественные числа имеют разные типы. Для решения этой проблемы Рассел и Уайтхед ввели особую аксиому сводимости[en] (иначе, аксиому редукции), позволяющую понижать тип функций одного или двух переменных и тем самым ставить объекты на сопоставимый уровень[75].

Определение чисел (конечных и трансфинитных) и доказательство их свойств авторы выполняют на теоретико-множественной основе: число есть класс множеств (точнее, класс классов) одинаковой мощности. После чего уже не представляет труда вывод теорем арифметики, элементарной геометрии, анализа и других разделов математики. Достоинством такого подхода, по мнению авторов, является заведомая непротиворечивость результатов — ведь в логике противоречий быть не может[75].

Логицизм подвергся резкой критике за искусственный, интуитивно сомнительный характер своей аксиоматики. С возражениями выступили Герман Вейль, Анри Пуанкаре, Давид Гильберт и другие крупные математики. По мнению критиков, аксиома сводимости, аксиома бесконечности и аксиома выбора вообще не относятся к логике, причём аксиома сводимости не является очевидной и придумана исключительно для технического удобства. Рассел в 1919 году признал наличие аксиомы сводимости дефектом своей системы, но так и не смог от неё избавиться[76].

Гильберт в своём докладе «Основания логики и арифметики» на Третьем Международном конгрессе математиков (Гейдельберг, 1904) заметил, что логика в ходе своего развития впитала в себя неявное, но неустранимое понятие целого числа, поэтому обоснование числа с помощью логики есть порочный круг[77][78]:

При внимательном рассмотрении мы осознаём, что в обычном изложении законов логики уже используются некоторые фундаментальные понятия арифметики, например понятие совокупности, отчасти также понятие числа. Таким образом, мы попадаем в порочный круг, и поэтому, чтобы избежать парадоксов, требуется параллельное развитие законов логики и арифметики.

В 1920-е годы Фреге предложил для преодоления трудностей новый проект обоснования математики, в котором, кроме логики, присутствуют аксиомы геометрии. Он заявил: «Арифметика и геометрия выросли на одной и той же почве, а именно — геометрической, так что вся математика есть, собственно говоря, геометрия». Существенного развития эта идея не получила[79].

Среди более поздних сторонников логицизма можно назвать Уилларда Куайна и Алонзо Чёрча. В 1983 году британский логик Криспин Райт предложил новый вариант логистических оснований математики с упрощённой аксиоматикой и свободный от парадоксов. Версия Райта основана на исправлении ранней ошибочной аксиоматики Фреге. С помощью логики второго порядка и принципа Юма[en] (непротиворечивость которого была вскоре доказана) Райт вывел всю арифметику из логической аксиоматики. Этот подход получил название нео-логицизма. Критики выражают сомнение, что принцип Юма относится к логике[80][81].

Интуиционизм[править | править код]
Основная статья: Интуиционизм

Идейным антиподом логицизма был интуиционизм, сторонники которого ставили интуицию как источник истины выше логики. Ещё Декарт писал, что дедукция требуется только для вывода несамоочевидных истин, а первичные принципы (аксиомы) всегда имеют интуитивный характер[82]. Сходные идеи высказывал Иммануил Кант. Среди предшественников интуиционизма — Леопольд Кронекер и Анри Пуанкаре, а развёрнутое изложение этой философии математики дал в 1910-е годы Лёйтзен Эгберт Ян Брауэр. Идеи Брауэра активно защищали Герман Вейль и Аренд Гейтинг[83].

По мнению Брауэра и других интуиционистов, математика есть полностью создание человеческой мысли и не зависит от внешнего мира. Практика человеческой деятельности полезна для развития новых математических идей, но в принципе не является необходимой для их возникновения. Герман Вейль даже провозгласил обратную связь: «Наш мир — это не хаос, но космос, гармонически упорядоченный нерушимыми законами математики»[84].

Базовыми истинами интуиционистской математики являются интуитивно очевидные человеческие представления, главные из которых — понятия натурального числа и математической индукции. Математическое мышление во всех своих проявлениях также глубоко интуитивно, и логика для него не более чем проверочный инструмент; логика основана на математике, а не математика на логике (впрочем, некоторые логические принципы входят как составная часть в математическую интуицию). Аксиоматизация и доказательства непротиворечивости — напрасный труд, интуиция не содержит противоречий. Геометрию Брауэр отнёс к физике твёрдых тел и устранил её из оснований математики; неевклидовы геометрии, по мнению Брауэра, доказывают зыбкость и неоднозначность пространственной интуиции[85][86].

Брауэр потребовал устранить из логики и математики все интуитивно сомнительные аспекты, произвёл соответствующую переоценку оснований и существенно ограничил математику и логику в нескольких направлениях. Он заявил, что человеческая интуиция всегда имеет дело с конечными множествами, поэтому актуально бесконечных множеств не существует, и они должны быть исключены из математики. Следует запретить «теоремы существования», если в них не содержится конструктивный алгоритм построения, запретить применение «закона исключённого третьего» (в доказательствах «от противного») и т. п. Значительная часть математических достижений прошлых веков при такой ревизии оказывается неверной или не доказанной; были сделаны попытки перестроить хотя бы элементарную математику на интуиционистских принципах, но доказательства оказались «невыносимо громоздкими». Столь чувствительные ограничения не устраивали большинство математиков. Вскоре интуиционисты раскололись на несколько школ, предъявлявших различные по радикальности требования к ревизии математики[87].

Критики указывали на тот факт, что многие принятые интуиционистами теоремы математики противоречат привычной интуиции (например, кривая Пеано). Кроме того, интуиция у разных людей разная, а человеческий разум способен заблуждаться — отсюда следует, что нет интуитивной истины, общей для всех людей[88].

Гильберт иронически оценил перестроенную интуиционистами математику как «жалкие остатки, немногочисленные, неполные, не связанные друг с другом единичные результаты»; по его мнению, интуиционизм пытается изуродовать и разрушить математику. Бурбаки расценили интуиционистскую философию как исторический курьёз. В СССР популяризировалась близкая по духу школа «конструктивной математики», возглавляемая А. А. Марковым[89][90].

Гильбертовский формализм[править | править код]
Основная статья: Формализм (математика)
Гильберт и его девиз: «Мы должны знать. Мы узнаем».

Наиболее активные работы по основаниям математики вела в первой половине XX века школа Гильберта, идеи которой получили название «формализм». Воодушевлённый успехом своих «Оснований геометрии», Гильберт объявил цель построить всю математику (а в перспективе — и физику) на единой логической основе. Гильберт считал, что для дисциплин, лежащих в фундаменте математики, таких, как теория множеств и арифметика, можно найти систему аксиом, из которых чисто синтаксическими преобразованиями можно будет вывести любую теорему данной теории (а в перспективе — все вообще установленные в математике результаты). Более того, Гильберт верил, что для этих дисциплин можно будет доказать их непротиворечивость и полноту (первое позволило бы избавиться от обнаруженных в математике противоречий и гарантировать, что в будущем никаких новых противоречий уже не появится).

Эта программа довольно быстро привела к определённым положительным результатам: Гильберт и его ученики определили систему формальной записи математических утверждений и правила вывода на этом языке одних утверждений из других (таких систем было разработано несколько, одной из самых наглядных считается исчисление секвенций Г. Генцена), с таким расчётом, чтобы на этот язык можно было перевести все известные математические результаты; это давало возможность выводить их потом из подходящих аксиом теории, лежащей в основаниях математики (такой, как теория множеств). Одновременно таким формальным уточнением математических понятий и приемов удалось избавиться от всех накопленных к тому времени противоречий в математике.[91][92]

Однако появившиеся в 1931 году теоремы Гёделя о неполноте неожиданно показали, что, понимаемая буквально, программа Гильберта неосуществима: во-первых, обнаружилось, что полнота любой достаточно широкой формальной теории (точнее, любой теории, включающей арифметику натуральных чисел) несовместима с её непротиворечивостью, а, во-вторых, доказать непротиворечивость какой-либо теории, содержащей арифметику, невозможно, и можно говорить только об относительной непротиворечивости таких теорий.[93][94]

Как иллюстрация, Генцен в 1936 году доказал непротиворечивость арифметики Пеано в рамках построенной им теории, допускающей некий усеченный вариант трансфинитной индукции[95] — однако этот результат справедлив только в предположении, что теория Генцена сама непротиворечива (что остается недоказанным и более того, не может быть доказано по теореме Гёделя). Другая иллюстрация: после смерти Гильберта для аксиоматики Пеано были найдены конкретные примеры утверждений, недоказуемых в теории Пеано, но доказуемых в стандартных теориях множеств, содержащих арифметику Пеано — теорема Гудстейна[96], теорема Пэриса-Харрингтона[97] и другие, — и эти наблюдения доказывают неполноту системы аксиом Пеано независимо от теорем Гёделя.

Нельзя сказать, что сам подход Гильберта встретил однозначную поддержку среди математиков. Тезис Гильберта о том, что к любому непротиворечивому математическому объекту следует относиться как к существующему, был неприемлем для интуиционистов. Многие математики также считали, что замена истинности на выводимость, формально-синтаксическая «игра с формулами» лишают математические истины смысла, делают математику бессодержательной и не могут отразить связи математики с реальным миром[98].

Тем не менее, именно исследования Гильберта и его школы оставили наиболее глубокий след в области оснований математики и по существу сформировали современное лицо этой науки. После результатов Гёделя сторонникам формализма пришлось внести определённые коррективы в поставленные Гильбертом цели (а именно, пришлось отказаться от надежд доказать непротиворечивость и полноту теории множеств, как их понимал Гильберт), однако созданное Гильбертом и его учениками исчисление предикатов в математической логике послужило фундаментом для постройки аксиоматических теорий множеств — ZF, NBG, MK[en] — на которых, в свою очередь, строится вся нынешняя математика[99][100].

Теория множеств как основание математики[править | править код]
Аксиомы ZFC.

Логический анализ парадоксов теории множеств показал, что необходимо ограничить понятие математического объекта, исключив те, которые могут порождать противоречия. Понятие множества было решено определить в строгой системе аксиом; объекты, не порождаемые этой системой, исключаются из числа множеств[101].

Первую аксиоматизацию теории множеств в 1908 году опубликовал Цермело; в 1922 году она была усовершенствована Френкелем и теперь известна как теория Цермело — Френкеля (ZF, с аксиомой выбора — ZFC). Расширенный вариант аксиоматики теории множеств был разработан фон Нейманом в 1925 году и модифицирован позднее Бернайсом и Гёделем. Она известна как система аксиом фон Неймана — Бернайса — Гёделя и обозначается NGB. В этой версии наряду с множеством определяется понятие «собственного класса» (например, допусти́м объект «класс всех множеств»). Все множества — классы, но не все классы — множества: собственный класс содержит элементы, но не входит как элемент в множества или классы. Существуют и другие варианты аксиоматики теории множеств. Все они достаточны для вывода теорем арифметики, анализа, геометрии и т. д. Оппоненты утверждают, что некоторые аксиомы интуитивно не обоснованы и искусственны[102][101][103].

До сих пор в аксиоматической теории множеств не обнаружено противоречий, её версии считаются надёжными и широко используются в исследованиях по математической логике, топологии, функциональному анализу и в других областях математики. На теорию множеств опирался коллектив Бурбаки, опубликовавший многотомный курс современной математики. С другой стороны, непротиворечивость аксиоматической теории множеств не доказана, и к тому же она неполна — например, гипотеза континуума, как оказалось, в ней недоказуема. В 1936 году Алонзо Чёрч показал, что, кроме недоказуемых, существуют также алгоритмически неразрешимые проблемы[104].

Уиллард Куайн в 1937 году опубликовал оригинальную аксиоматику теории множеств, которую назвал «Новые основания[en]» (NF). Она представляет собой значительно упрощённую теорию типов Рассела; в ней множество всех множеств допустимо, но принадлежность множества самому себе по-прежнему запрещена[105][106].

Дальнейшее развитие[править | править код]

Сильной стороной теории множеств в качестве оснований математики является её абстрактность — понятие множества пронизывает все разделы математики, объединяя их единой идеологией и терминологией. Вместе с тем абстрактность теории множеств приводит также и к ряду трудностей в силу отрыва от традиционного и близкого к опыту материала, из-за чего становится невозможным выбрать общеприемлемые аксиомы[107][нет в источнике]. Многие аксиомы (или даже целые аксиоматики) имеют существенно иные альтернативы, у которых равные права на признание, потому что интуитивное предпочтение одного из вариантов невозможно объективно обосновать — вопрос, какая альтернатива «правильная», лишён смысла[108][нет в источнике]. Например, для математического анализа, кроме традиционного обоснования, существует «нестандартное», в котором существуют бесконечно малые и бесконечно большие числа (не переменные, а именно числа). Таким образом, математик вправе выбирать между двумя существенно разными типами и обоснованиями анализа — классическим, в котором выполняется аксиома Архимеда, и нестандартным неархимедовым. Выше уже был отмечен произвол в принятии, частичном принятии или непринятии аксиомы выбора или континуум-гипотезы[109].

Практически это означает, что существует не одна математика, а целое бесконечное их семейство, члены которого несовместимы друг с другом[источник не указан 364 дня (обс.)] — например, та же аксиома выбора и альтернативная ей аксиома детерминированности. Поскольку разные варианты математики[источник не указан 364 дня (обс.)] нередко содержат разные результаты, математика не может более рассматриваться как источник абсолютных истин, справедливых независимо от формальных оснований математической теории[110][111][нет в источнике].

Некоторые математики предлагали новые, расширенные типы математической логики (линейная логика[en]), однако широкой поддержки в качестве оснований математики они не получили[2].

С 1960-х годов, начиная с работ Уильяма Ловера[112], появилось новое перспективное[источник не указан 364 дня] направление, связывающее основания математики (и, возможно, физики[113]) с так называемой теорией категорий. Объекты в теории категорий можно нестрого представлять как множества, снабжённые структурой, свойства которых не задаются дополнительно к базовому множеству, а включены изначально в определение объекта, так что изоморфные объекты не различаются по своим свойствам[нет в источнике]. Теорию категорий можно строить, опираясь на понятие множества, однако это не обязательно: теорию категорий можно сформулировать, не используя теорию множеств, хотя ни один из многих способов сделать это не является общепринятым[источник не указан 364 дня][114][115]. Многие математики предлагают использовать вместо аксиоматики теории множеств в качестве оснований математики язык теории категорий (в частности, теорию топосов), что имеет определённые преимущества по сравнению с теоретико-множественным подходом: общность, конструктивный характер, акцент на алгебраическое (а не теоретико-множественное) обоснование[источник не указан 364 дня]. В то же время продолжаются споры о том, удовлетворяют ли такие основания математики потребностям всех её ветвей и являются ли они вообще основаниями в том же философском смысле, что и теоретико-множественные основания[114][116][117].

Современное состояние[править | править код]

В связи с развитием компьютеров около 1970 года в разных местах независимо стали появляться идеи о том, что математические доказательства могут автоматически проверяться при помощи компьютеров[118]. Стало разрабатываться большое количество систем проверки доказательств[en]. Это возродило интерес к вопросу об основаниях математики: если раньше логиков интересовал вопрос об избавлении от парадоксов, то теперь основным вопросом стала разработка удобного языка и логической системы, которые подходили бы для написания теорем и доказательств и их дальнейшей проверки на компьютере. Практическая потребность в этом возникла в связи с необходимостью формальной верификации корректности компьютерных алгоритмов и языков программирования[119].

Кроме того, появились две новые проблемы обоснования математических результатов, которые, по мнению Брайана Дэйвиса, заслуживают названия очередного кризиса: некоторые доказательства теорем насчитывают сотни страниц сложного текста и чрезвычайно трудно проверяемы, а часть результатов (например, решение проблемы четырёх красок или гипотезы Кеплера) получена компьютерным расчётом, и их достоверность зависит от правильности расчётной программы. Дэйвис предсказал: «К 2075 году многие области чистой математики будут построены на использовании теорем, доказательства которых не сможет полностью понять ни один из живущих на Земле математиков — ни в одиночку, ни коллективными усилиями», и главным критерием корректности новых результатов станет консенсус математического сообщества[120].

Наиболее эффективной основой для большинства компьютерных систем проверки доказательства стали варианты λ-исчисления с зависимыми типами, эксплуатирующие соответствие Карри — Ховарда, согласно которому конструктивное математическое доказательство состоит в установлении обитаемости некоторого типа. Первой из таких систем стал созданный в 1967 году Николасом де Брёйном язык Automath[en], а широкие выразительные возможности подобного рода систем обеспечены благодаря построению Пером Мартин-Лёфом интуиционистской теории типов[en][119].

Значительный импульс эти идеи получили в программе создания унивалентных оснований математики, запущенной в конце первого десятилетия XXI века по инициативе В. А. Воеводского. В итоге был получен формальный математический язык, в котором любое правильно построенное утверждение является инвариантным относительно изоморфизма — цель, к которой стремился ещё Михай Маккаи[en][119]. В качестве основы программы избрана гомотопическая теория типов[121] — вариант интуиционистской теории типов, снабжённый понятиями из теории категорий, алгебраической топологии, гомологической алгебры. Если в классическом подходе к основаниям, идущем от Гильберта и Тарского, логика эпистемологически первична — вначале определяется логическая система, а потом её средствами осуществляется формализация тех или иных разделов математики, то в случае унивалентных оснований логика и математика находятся на одном уровне: одни и те же конструкции могут иметь как логическую, так и, например, геометрическую интерпретацию[122]. Воеводскому удалось решить ряд внутренних противоречий таких систем и применить их к абстрактным разделам математики.

Примечания[править | править код]

  1. Основания математики. Большая советская энциклопедия, 3-е изд., том 18, С. 1685.. Дата обращения 2 августа 2019.
  2. 1 2 3 4 5 6 Britannica.
  3. 1 2 3 Kunen, 1980, p. xi: «Set theory is the foundation of mathematics. All mathematical concepts are defined in terms of the primitive notions of set and membership. In axiomatic set theory we formulate a few simple axioms about these primitive notions in an attempt to capture the basic "obviously true" set-theoretic principles. From such axioms, all known athematics may be derived. (Теория множеств - фундамент математики. Все математические понятия определяются в терминах примитивных понятий множества и принадлежности. В аксиоматической теории множеств мы формулируем несколько простых аксиом об этих примитивных понятиях, пытаясь охватить основные «очевидно истинные» теоретико-множественные принципы. Из таких аксиом может быть выведена вся известная математика.)».
  4. Бурбаки Н. Архитектура математики. Очерки по истории математики / Перевод И. Г. Башмаковой под ред. К. А. Рыбникова. М.: ИЛ, 1963. С. 32, 258.
  5. Зеннхаузер, Вальтер. Платон и математика. — СПб.: Издательство РХГА, 2016. — С. 71—91; 315—331.
  6. Начала Евклида. Книги I—VI. М.: ОГИЗ, 1948.
  7. Kunen, 1980, p. 12.
  8. 1 2 Monk, 1969, p. 21.
  9. Jech, 1997, p. 7.
  10. Келли, 1981, p. 330.
  11. Определение как множества принадлежит польскому математику Казимежу Куратовскому, но до него идея определить упорядоченную пару а вместе с ней и декартово произведение (с другими, более сложными, чем у Куратовского, построениями) как множества специального вида, высказывалась разными математиками, в частности, Норбертом Винером.
  12. Kunen, 1980, p. 14.
  13. Jech, 1997, p. 11.
  14. Келли, 1981, p. 332.
  15. Enderton, 1977, Chapters 4,5.
  16. Roitman, 1990, Chapter 4.
  17. Ciesielski, 1997, Chapter 3.
  18. Monk, 1969, p. 97—115.
  19. Jech, 1997, p. 23.
  20. Келли, 1981, p. 344.
  21. Здесь под понимается класс эквивалентности, которому принадлежит пара .
  22. Произведения вида , где и определяются с помощью указанного выше вложения в .
  23. Здесь под понимается класс эквивалентности, которому принадлежит пара .
  24. Или отображений с областью определения в и множеством значений в (где под понимается декартова степень ).
  25. Здесь необходимо уточнение: иногда возникают ситуации, когда вместо понятия «множество» математику приходится использовать несколько более широкое понятие «класс», описываемое в теориях фон Неймана — Бернайса — Геделя NBG и Морса — Келли MK. Мы об этом пишем ниже.
  26. См. объяснения ниже.
  27. Э.Мендельсон. Введение в математическую логику. М.: Наука, 1984. Глава 2.
  28. Математическая логика. Математическая энциклопедия. Т.3, М.: Советская энциклопедия, 1982.
  29. См. раздел «Гильбертовский формализм» ниже.
  30. Alternative Axiomatic Set Theories. Stanford Encyclopedia of Philosophy
  31. Kunen, 1980.
  32. Дж. Шенфилд. Математическая логика. М.: Наука, 1975. Глава 9.
  33. Э.Мендельсон. Введение в математическую логику. М.: Наука, 1984. Глава 4.
  34. Келли, 1981, p. 321—355.
  35. 1 2 3 Kunen, 1980, p. 35—36.
  36. Kunen, 1980, p. 35.
  37. Э.Мендельсон. Введение в математическую логику. М.: Наука, 1984. Глава 4.
  38. Kunen, 1980, p. 36: «None of the three theories, ZF, NBG, and MK, can claim to be the "right" one. ZF seems inelegant, since it forces us to treat classes, as we did in §9, via a circumlocution in the metatheory. Once we give classes a formal existence, it is hard to justify the restriction in NBG on the occurring in the class comprehension axiom, so MK seems like the right theory. However, once we have decided to give classes their full rights, it is natural to consider various properties of classes, and to try to form super-classes, such as . In MK, such objects can be handled only via an inelegant circumlocution in the metatheory.».
  39. Cм. подробности в статье "Conglomerate"[en].
  40. F. William Lawvere. The Category of Categories as a Foundation for Mathematics (англ.) // Proceedings of the Conference on Categorical Algebra. — Springer, Berlin, Heidelberg, 1966. — P. 1–20. — ISBN 9783642999048, 9783642999024. — DOI:10.1007/978-3-642-99902-4_1.
  41. Панов В. Ф., 2006, с. 21.
  42. История математики, том I, 1970, с. 178.
  43. Панов В. Ф., 2006, с. 32.
  44. Клайн М., 1984, с. 20—25.
  45. Яновская С. А. Преодолены ли в современной науке трудности, известные под названием «Апорий Зенона»? // Проблемы логики. — М., 1963. — С. 116—136.
  46. Zeno of Elea // Stanford Encyclopedia of Philosophy.
  47. 1 2 Плиско В. Е., Хаханян В. Х. Интуиционистская логика. — Стр. 10. Дата обращения 24 ноября 2017.
  48. 1 2 История математики, том I, 1970, с. 78—80.
  49. Рашевский П. К. «Основания геометрии» Гильберта и их место в историческом развитии вопроса // Гильберт Д. Основания геометрии. — Л.: ГИТТЛ, 1948. — С. 13—15.
  50. Выгодский М. Я. «Начала» Евклида // Историко-математические исследования. — М.-Л.: ГИТТЛ, 1948. — Вып. 1. — С. 257—264.
  51. Башмакова И. Г. Лекции по истории математики в Древней Греции // Историко-математические исследования. — М.: Физматгиз, 1958. — № 11. — С. 309—323.
  52. 1 2 Клайн М., 1984, с. 45—46.
  53. Клайн М., 1984, с. 55—59, 63—71.
  54. Ранее Архимед, Кавальери, Валлис и другие математики использовали метод бесконечно малых величин как эвристический (см. Метод неделимых), оговаривая, что результат можно доказать «законным» методом исчерпывания. Ньютон и Лейбниц такой оговорки не делали, они рассматривали бесконечно малые как легальный объект.
  55. Клайн М., 1984, с. 152—156, 172—173.
  56. Панов В. Ф., 2006, с. 172—176, 215—220.
  57. Клайн М., 1984, с. 164—165, 174—176.
  58. Клайн М., 1984, с. 187, 197.
  59. Клайн М., 1984, с. 92—94.
  60. Клайн М., 1984, с. 107—109.
  61. Kasner, Edward and Newman, James Roy. Mathematics and the Imagination. — Dover Pubns, 2001. — P. 358. — ISBN 0-486-41703-4.
  62. Панов В. Ф., 2006, с. 477—482.
  63. Клайн М., 1984, с. 204—206.
  64. Панов В. Ф., 2006, с. 485—486.
  65. Клайн М., 1984, с. 207.
  66. Панов В. Ф., 2006, с. 321.
  67. Панов В. Ф., 2006, с. 487—495.
  68. Панов В. Ф., 2006, с. 506—510.
  69. Клайн М., 1984, с. 236—237.
  70. Philosophy of Mathematics, 2.4.
  71. Клайн М., 1984, с. 240—242.
  72. Панов В. Ф., 2006, с. 504—505.
  73. Клайн М., 1984, с. 248—250, 313.
  74. Клайн М., 1984, с. 252—255.
  75. 1 2 Клайн М., 1984, с. 257—260.
  76. Клайн М., 1984, с. 260—266, 285.
  77. Английский перевод: Hilbert D. On the foundations of logic and arithmetic. (англ.). Дата обращения 3 октября 2018. Немецкий оригинал: Über die Grundlagen der Logik und der Arithmetik
  78. Клайн М., 1984, с. 285.
  79. Frege G. Posthumous writings. — Chicago: Chicago University Press, 1974. — P. 224.
  80. Philosophy of Mathematics, 2.1.
  81. Hale, B. & Wright, C. The Reason’s Proper Study: Essays Towards a Neo-Fregean Philosophy of Mathematics. — Oxford: Oxford University Press., 2001. — ISBN 9780198236399.
  82. Декарт Р. Правила для руководства ума. — М.—Л.: Соцэкгиз, 1936. — С. 57—60.
  83. Клайн М., 1984, с. 267—271.
  84. Метафизика и математика, 2011, с. 210.
  85. Клайн М., 1984, с. 271—274.
  86. Метафизика и математика, 2011, с. 152, 442.
  87. Клайн М., 1984, с. 274—279.
  88. Клайн М., 1984, с. 280—281.
  89. Панов В. Ф., 2006, с. 524.
  90. Клайн М., 1984, с. 278—279, 284, 418.
  91. Ю. Л. Ершов, Е. А. Палютин, Математическая логика, М.:Наука, 1987, c.92-93: «В рамках ZFC никаких противоречий до сих пор не обнаружено. С другой стороны, было доказано, что если ZFC непротиворечива, то этот факт нельзя установить средствами этой теории.»
  92. H.-D.Ebbinghaus, J.Flum, W.Thomas, Mathematical Logic, 1984, p.112: «Nevertheless, the fact that ZFC has been investigated and used in mathematics for decades and no inconsistency has been discovered, attests to the consistency of ZFC.»
  93. Математический энциклопедический словарь, М.: Советская энциклопедия, 1988, с.410, статья «Непротиворечивость»: «Любое математическое доказательство непротиворечивости является относительным: оно лишь сводит вопрос непротиворечивости одной теории к вопросу о непротиворечивости другой.»
  94. Математическая энциклопедия, М.: Советская энциклопедия, 1982, с.995, статья «Непротиворечивость»: «Любое доказательство непротиворечивости использует средства той или иной математической теории, а потому лишь сводит вопрос о непротиворечивости к вопросу о непротиворечивости другой теории. При этом говорят также, что первая теория непротиворечива относительно второй теории. Большое значение имеет вторая теорема Гёделя, которая утверждает, что непротиворечивость формальной теории, содержащей арифметику, невозможно доказать с помощью средств самой рассматриваемой теории (при условии, что эта теория действительно непротиворечива).»
  95. Формальная арифметика. Большая советская энциклопедия. Дата обращения 20 января 2013.
  96. Пенроуз Р. Большое, малое и человеческий разум. — М.: Мир, 2004. — С. 180—184.
  97. Paris J.; Harrington L. (1977). A Mathematical Incompleteness in Peano Arithmetic. In Barwise, J. Handbook of Mathematical Logic. Amsterdam, Netherlands: North-Holland.
  98. Клайн М., 1984, с. 291—293.
  99. Исключение составляют некоторые разделы математической логики
  100. Математический энциклопедический словарь, М.: Советская энциклопедия, 1988, с.683, статья «Гильберт»: «Первоначальные надежды Гильберта в этой области не оправдались: проблема непротиворечивости математических теорий оказалась глубже и труднее, чем Гильберт предполагал сначала. Но вся дальнейшая работа над логическими основаниями математики в большой мере идет по путям, намеченным Гильбертом и пользуется созданными им концепциями.»
  101. 1 2 Панов В. Ф., 2006, с. 518—519.
  102. Бурбаки, 1963, с. 46—47.
  103. Клайн М., 1984, с. 295—297.
  104. Клайн М., 1984, с. 309—311.
  105. Forster, Thomas. Quine's New Foundations (англ.). Stanford Encyclopedia of Philosophy. Дата обращения 5 февраля 2018.
  106. Holmes, M. Randall. Elementary set theory with a universal set. — Louvain-la-Neuve: Université Catholique de Louvain, Département de Philosophie, 1998. — ISBN 2-87209-488-1.
  107. Мостовский А., 1954, с. 3.
  108. Мостовский А., 1954, с. 17—18.
  109. Клайн М., 1984, с. 313—319.
  110. Панов В. Ф., 2006, с. 520—523.
  111. Кановей В. Г. Аксиома выбора и аксиома детерминированности. — М.: Наука, 1984. — С. 3, 4, 29. — 64 с. — (Проблемы науки и технического прогресса).
  112. F. William Lawvere. The Category of Categories as a Foundation for Mathematics (англ.) // Proceedings of the Conference on Categorical Algebra. — Springer, Berlin, Heidelberg, 1966. — P. 1–20. — ISBN 9783642999048, 9783642999024. — DOI:10.1007/978-3-642-99902-4_1.
  113. Родин А. Теория категорий и поиски новых математических оснований физики. Дата обращения 4 декабря 2017.
  114. 1 2 Jean-Pierre Marquis. Category Theory. Stanford Encyclopedia of Philosophy (2014). Дата обращения 2 апреля 2018.
  115. Colin McLarty. 12. Mathematical Foundations // Elementary Categories, Elementary Toposes. — Clarendon Press, 1992. — ISBN 0-19-851473-5.
  116. Lambek, Joachim. The quest for rigour. Category theory. Дата обращения 12 декабря 2017.
  117. Яшин Б. Л., 2012, с. 69.
  118. Proof assistants: History, ideas and future (англ.) // Sadhana. — 2009-02-01. — Vol. 34, iss. 1. — P. 3–25. — DOI:10.1007/s12046-009-0001-5.
  119. 1 2 3 Daniel R. Grayson. An introduction to univalent foundations for mathematicians // arXiv:1711.01477 [math]. — 2017-11-04.
  120. Davies B . Whither mathematics? // Notices of the American Mathematical Society. — 2001. — Vol. 52, № 11. — P. 1350—1356.
  121. Homotopy Type Theory: Univalent Foundations of Mathematics. — Princeton: Institute for Advanced Study, 2013. — 603 p.
  122. Андрей Родин. Логический и геометрический атомизм от Лейбница до Воеводского // Вопросы философии. — 2016. — № 6. — С. 134—142.

Классические труды[править | править код]

  • Начала Евклида / Перевод с греческого и комментарии Д. Д. Мордухай-Болтовского при редакционном участии М. Я. Выгодского и И. Н. Веселовского. — М.—Л.: ГТТИ, 1949—1951. — (Классики естествознания).
  • Уайтхед А., Рассел Б. Основания математики: В 3 т / Под ред. Г. П. Ярового, Ю. Н. Радаева. — Самара: Самарский университет, 2005—2006. — ISBN 5-86465-359-4.
  • Гильберт Д., Бернайс П. Основания математики. М.: Наука.
    • Том I. Логические исчисления и формализация арифметики. 1979, 560 c.
    • Том II. Теория доказательств. 1982, 656 с.
  • Brouwer, Luitzen Egbertus Jan. Over de grondslagen der wiskunde. Academisch proefschrift, Maas & van Suchtelen, Amsterdam 1907 im Internet-Archiv, dito). Диссертация Брауэра «Об основаниях математики» (нид.).
    • Английский перевод: Brouwer L. E. J. Collected Works. Vol. 1: Philosophy and Foundations of Mathematics. — Amsterdam—Oxford, 1975. — 734 p. — ISBN 9781483257549.
  • Клини С. К. Введение в метаматематику. — М.: Изд-во иностранной литературы, 1957. — 526 с.
  • Френкель А. А., Бар-Хиллел И. Основания теории множеств. — М.: Мир, 1966. — 555 с.

Литература[править | править код]

  • Основания математики. — Большая советская энциклопедия, 3-е изд., том 18, С. 1685..
  • Kunen, Kenneth. Set Theory: An Introduction to Independence Proofs. — North-Holland, 1980. — ISBN 0-444-85401-0.
  • Бурбаки Н. Основания математики. Логика. Теория множеств // Очерки по истории математики / И. Г. Башмакова. — М: Издательство иностранной литературы, 1963. — С. 37—53. — 292 с. — (Элементы математики).
  • Бурбаки, Н. Архитектура математики. Очерки по истории математики. — Издательство иностранной литературы, 1963.
  • Зеннхаузер, Вальтер. Платон и математика. — СПб.: Издательство РХГА, 2016.
  • Начала Евклида. Книги I - VI.. — Москва: ОГИЗ, 1948.
  • Monk, J.D. Introduction to Set Theory. — McGraw-Hill, 1969.
  • Jech, T. Set Theory. — Springer, 1997.
  • Келли, Дж. Общая топология. — Наука, 1981.
  • Enderton, H.B. Elements of set theory. — Academic press, 1977.
  • Roitman, J. Introduction to modern set theory. — Wiley, 1990.
  • Ciesielski, K. Set theory for the working mathematician. — Cambridge university press, 1997.
  • Э.Мендельсон. Введение в математическую логику. — Москва: Наука, 1984.
  • С.И.Адян. Математическая логика // Математическая энциклопедия. — Москва: Советская энциклопедия, 1982. — Т. 3.
  • Дж.Шенфилд. Математическая логика. — Москва: Наука, 1975.

Ссылки[править | править код]