Основная теорема алгебры

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Основна́я теоре́ма а́лгебры — утверждение о том, что поле комплексных чисел алгебраически замкнуто, то есть всякий отличный от константы многочлен (от одной переменной) с комплексными коэффициентами имеет, по крайней мере, один корень на поле комплексных чисел. Утверждение справедливо и для многочленов с вещественными коэффициентами, так как всякое вещественное число является комплексным с нулевой мнимой частью.

Не существует строго алгебраического доказательства теоремы — все имеющиеся привлекают неалгебраические концепции, вроде полноты множества вещественных чисел или топологии комплексной плоскости. К тому же теорема не является «основной» в современной алгебре — она получила это название во времена, когда основным направлением алгебры был поиск решений алгебраических уравнений с вещественными и комплексными коэффициентами.

Доказательство[править | править вики-текст]

Самое простое доказательство этой теоремы даётся методами комплексного анализа. Используется тот факт (теорема Лиувилля), что функция, аналитическая на всей комплексной плоскости (целая функция) и не имеющая особенностей на бесконечности, есть константа. Поэтому, функция , где  — многочлен, должна иметь хоть один полюс на комплексной плоскости, а, соответственно, многочлен имеет хоть один корень.

Следствие[править | править вики-текст]

Немедленным следствием из теоремы является то, что любой многочлен степени над полем комплексных чисел имеет в нём ровно корней, с учётом их кратности.

Доказательство следствия[править | править вики-текст]

У многочлена есть корень , значит, по теореме Безу, он представим в виде , где  — другой многочлен. Применим теорему к и будем применять её таким же образом до тех пор, пока на месте не окажется линейный множитель.

История[править | править вики-текст]

Теорема впервые встречается у немецкого математика Петера Рота (Peter Roth или Peter Rothe, ?—1617). В своём трактате «Arithmetica Philosophica» (1608) он высказал предположение о том, что многочлен -й степени может иметь не более корней. Более смелую формулировку дал Альбер Жирар в труде «Новое открытие в алгебре» (1629): уравнение степени должно иметь ровно корней, действительных (включая отрицательные) или воображаемых (последний термин обозначал комплексные корни, пользу от которых Жирар особо оговорил). Однако Жирар сделал оговорку: эта теорема может быть неверна, если «уравнение неполное», то есть некоторые коэффициенты равны нулю. Взгляды Рота и Жирара опередили свой время и широкой известности не получили[1].

Декарт в труде «Геометрия» (1637) использовал следующую формулировку: «Всякое уравнение может иметь столько же различных корней, или же значений неизвестной величины, сколько последняя имеет измерений»; далее он тоже делает оговорку: «хотя всегда можно вообразить себе столько корней, сколько я сказал, но иногда не существует ни одной величины, которая соответствует этим воображаемым корням»[2].

Маклорен и Эйлер уточнили формулировку теоремы, придав ей форму, эквивалентную современной: всякий многочлен с вещественными коэффициентами можно разложить в произведение линейных и квадратичных множителей с вещественными коэффициентами. Д’Аламбер первым в 1746 году представил доказательство этой теоремы, которое было опубликовано в 1748 году[3]; оно, однако, основывалось на лемме, доказанной только в 1851 году, причём доказанной с использованием основной теоремы алгебры. В 1749 году было представлено, а в 1751 году — опубликовано, доказательство Эйлера[4], при этом работал он над данной проблемой почти в то же время, что и Д’Аламбер[5]. Также во второй половине XVIII века появляются доказательства Лагранжа (1772)[6], Лапласа (1795)[7] и других. Все эти доказательства тоже опирались на недоказанные предположения — например, Эйлер считал очевидным, что вещественный многочлен нечётной степени непременно имеет вещественный корень, а Лаплас предположил без доказательства, что все корни многочлена либо вещественные, либо комплексные[8].

Гаусс в 1799 году дал своё доказательство, однако использовал то же предположение, что и Эйлер; впоследствии он не раз возвращался к этой теме и дал ещё три доказательства, основанные на различных идеях, однако всегда привлекающие средства неалгебраического характера[8]. Первое полное и строгое доказательство было представлено Жаном Арганом в 1814 году; в 1816 году строгое доказательство опубликовал и Гаусс[9].

См. также[править | править вики-текст]

Примечания[править | править вики-текст]

  1. История математики, том II, 1970, с. 23—25.
  2. История математики, том II, 1970, с. 42.
  3. D'Alembert Recherches sur le calcul intégral // Memoires de l'academie royale des sciences et des belles lettres. — Berlin, 1748. — Vol. 2. — P. 182-224.
  4. Euler Recherches sur les racines imaginaires des equations // Memoires de l'academie royale des sciences et belles lettres. — Berlin, 1751. — Vol. 5. — P. 222-288.
  5. Башмакова, 1957, с. 258.
  6. Башмакова, 1957, с. 259.
  7. Башмакова, 1957, с. 263.
  8. 1 2 Математика XIX века. Том I: Математическая логика, алгебра, теория чисел, теория вероятностей / Под редакцией Колмогорова А. Н., Юшкевича А. П.. — М.: Наука, 1978. — С. 44—49.
  9. Джон Дж. О’Коннор и Эдмунд Ф. Робертсон. Основная теорема алгебры (англ.) — биография в архиве MacTutor.

Литература[править | править вики-текст]

Ссылки[править | править вики-текст]

  • J. J. O'Connor, E. F. Robertson. The fundamental theorem of algebra. MacTutor History of Mathematics archive. School of Mathematics and Statistics, University of St Andrews, Scotland (май 1996).