Основная теорема о вычетах

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Теорема о вычетах является мощным инструментом для вычисления интеграла мероморфной функции по замкнутому контуру. Её часто используют также для вычисления вещественных интегралов. Она является обобщением интегральной теоремы Коши и интегральной формулы Коши.

Illustration of the setting.

Теорема[править | править вики-текст]

Если аналитична в некоторой замкнутой односвязной области , за вычетом конечного числа особых точек , из которых ни одна не принадлежит граничному контуру , то справедлива следующая формула:

,

где  — вычет функции в точке .

Обход контура производится против часовой стрелки. Для использования теоремы в вычислении вещественных интегралов нужно продолжить интегрируемую функцию на комплексную плоскость и найти её вычеты, что обычно довольно просто сделать. После этого нужно замкнуть контур интегрирования, добавив к вещественному отрезку полуокружность, лежащую в верхней или нижней комплексной полуплоскости. После этого интеграл по этому контуру можно вычислить, используя основную теорему о вычетах. Зачастую интеграл по полуокружности можно устремить к 0, выбрав её правильным образом, после чего контурный интеграл станет равен вещественному.

Пример[править | править вики-текст]

Интеграл

Контур интегрирования.

возникает в теории вероятностей при расчете характеристической функции распределения Коши и не поддается вычислению обычными методами. Вычислим его через интеграл по контуру , указанному на рисунке (). Интеграл равен

Так как  — целая функция (нет сингулярностей на комплексной плоскости), то функция имеет сингулярности лишь в точках, где . Т.к. , это возможно лишь при или . В пределах контура лежит лишь одна из этих точек.

Вычет в равен

Тогда, по основной теореме о вычетах:

Контур можно разбить на прямую часть и кривую дугу, так что

Поэтому

Можно показать, что при :

Поэтому, если , то

Аналогичным образом, для дуги, обхватывающей точку вместо , можно показать, что при :

В итоге получаем:

(При интеграл вычислим обычными методами анализа и равен )

Внешние ссылки[править | править вики-текст]

См. также[править | править вики-текст]