Основное кинетическое уравнение

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Основное кинетическое уравнение — феноменологическое уравнение, описывающее эволюцию системы во времени. Установлено В. Паули в 1928 году. Название «основное уравнение» — перевод термина англ. Master equation. Называется также производящее или управляющее уравнение. Иногда также называют уравнением Паули (не путать с уравнением Паули, являющемся обобщением уравнения Шрёдингера!).

Для процесса, не зависящего от прошлого системы, (марковский процесс) основное кинетическое уравнение имеет вид:

\frac{dP_n}{dt}=\sum_{m\neq n} \left(w_{nm}\cdot P_m-w_{mn}\cdot P_n\right).

где

  • P_m=\rho_{mm} и P_n=\rho_{nn} — вероятности того, что система находится в состояниях m и n, соответствующие диагональным элементам матрицы плотности \rho;
  • w_{mn}=\mathrm{prob}(n\rarr m) — вероятность прямого перехода системы из состояния n в состояние m;
  • w_{nm}=\mathrm{prob}(m\rarr n) — вероятность обратного перехода системы из состояния m в состояние n.

В общем случае, при наличии в системе эффекта памяти, её прошлое состояние оказывает влияние на будущее (немарковский процесс). В этом случае основное кинетическое уравнение имеет вид:

\frac{dP_n(t)}{dt}=\int\limits_{-\infty}^t\sum_m \left(w_{nm}(t-\tau)\cdot P_m(\tau)-w_{mn}(t-\tau)\cdot P_n(\tau)\right)\,d\tau,

где

  • w_{mn}(t-\tau) — функция памяти системы.

Для системы с непрерывно распределённой случайной переменной x, основное кинетическое уравнение определяет плотность вероятности W(x,t):

\frac{\partial W(x,t)}{\partial t}=\int \left(w(x,x^\prime)\cdot W(x^\prime,t)-w(x^\prime,x)\cdot W(x,t)\right)\,dx^\prime

где

  • w(x,x^\prime) — плотность вероятности перехода x^\prime\rarr x.

Примеры основных уравнений:

Литература[править | править исходный текст]