Особая точка (дифференциальные уравнения)

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску

В математике особой точкой векторного поля называется точка, в которой векторное поле равно нулю. Особая точка векторного поля является положением равновесия или точкой покоя динамической системы, определяемой данным векторным полем: фазовая траектория с началом в особой точке состоит в точности из этой особой точки, а соответствующая ей интегральная кривая представляет собой прямую, параллельную оси времени.

В любой малой окрестности фазового пространства, не содержащей особых точек, векторное поле можно выпрямить подходящей заменой координат — тем самым, поведение системы вне особых точек устроено одинаково и очень просто. Напротив, в окрестности особой точки система может обладать очень сложной динамикой. Говоря о свойствах особых точек векторных полей, обычно подразумевают свойства соответствующей системы в малой окрестности особой точки.

Особые точки векторных полей на плоскости[править | править код]

Простейшими примерами особых точек являются особые точки линейных векторных полей на плоскости. С понятием векторного поля на плоскости можно связать линейную систему дифференциальных уравнений вида:

,

где  — точка на плоскости,  — матрица . Очевидно, точка в случае невырожденной матрицы является единственной особой точкой такого уравнения.

В зависимости от собственных значений матрицы , различают четыре типа невырожденных особых точек линейных систем: узел, седло, фокус, центр.

Тип собственных значений Собственные значения
на комплексной плоскости
Тип особой точки Тип фазовых траекторий Вид фазовых траекторий
Чисто мнимые Центр фазплоскость.svg Центр окружности, эллипсы Phase portrait center.svg
Комплексные с отрицательной действительной частью Устфокус фазплоскость.svg Устойчивый фокус Логарифмические спирали Phase Portrait Stable Focus.svg
Комплексные с положительной действительной частью Неустфокус фазплоскость.svg Неустойчивый фокус Логарифмические спирали Phase Portrait Unstable Focus.svg
Действительные отрицательные Устузел фазплоскость.svg Устойчивый узел параболы Phase Portrait Stable Node.svg
Действительные положительные Неустузел фазплоскость.svg Неустойчивый узел параболы Phase Portrait Unstable Node.svg
Действительные разных знаков Седло фазплоскость.svg Седло гиперболы Phase Portrait Sadle.svg

См. также[править | править код]