Открытое множество

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Откры́тое мно́жество — это множество, каждый элемент которого входит в него вместе с некоторой окрестностью. Открытое множество является фундаментальным понятием общей топологии.

Термин «открытое множество» применяется к подмножествам топологических пространств и никак не характеризует «само» множество (ни в смысле теории множеств, ни даже в смысле индуцированной на нём топологической структуры). [1] [2]

Евклидово пространство[править | править вики-текст]

Пусть есть некоторое подмножество евклидова пространства. Тогда называется открытым, если такое что , где ε-окрестность точки

Иными словами, множество открыто, если любая его точка является внутренней.

Например, интервал  как подмножество действительной прямой является открытым множеством.

Метрическое пространство[править | править вики-текст]

Пусть — некоторое метрическое пространство, и . Тогда называется открытым, если такое что , где — ε-окрестность точки относительно метрики .

Топологическое пространство[править | править вики-текст]

Обобщением приведённых выше определений является понятие открытого множества из общей топологии.

Топологическое пространство по определению содержит «перечень» своих открытых подмножеств «топологию», определённую на . Подмножество , такое, что оно является элементом топологии (то есть ), называется открытым множеством относительно топологии .

Важный подкласс открытых множеств образуют канонически открытые множества, каждое из которых является внутренностью (открытым ядром) какого-либо замкнутого множества (и, следовательно, совпадает с внутренностью своего замыкания). Всякое открытое множество   содержится в наименьшем канонически открытом множестве — им будет внутренность замыкания множества  [3].

См. также[править | править вики-текст]

Примечания[править | править вики-текст]

  1. Appert, Antoine.  Sur le meilleur terme primitif en topologie // Cahiers du séminaire d'histoire des mathématiques. — 1982. — № 3. — С. 65.  (фр.)
  2. open set на everything2.com  (англ.)
  3. Александров П. С., Пасынков В. А.  Введение в теорию размерности. — М.: Наука, 1973. — 576 с. — C. 24—25.