Открытое множество

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Откры́тое мно́жество — это множество, каждый элемент которого входит в него вместе с некоторой окрестностью. Открытое множество является фундаментальным понятием общей топологии.

Термин «открытое множество» применяется к подмножествам топологических пространств и никак не характеризует «само» множество (ни в смысле теории множеств, ни даже в смысле индуцированной на нём топологической структуры). [1] [2]

Евклидово пространство[править | править исходный текст]

Пусть U \subset \mathbb{R}^n есть некоторое подмножество евклидова пространства. Тогда U называется открытым, если \forall x_0 \in U \; \exists \varepsilon > 0, такое что V_{\varepsilon}(x_0) \subset U, где V_{\varepsilon}(x_0) \equiv \left\{x \in \mathbb{R}^n:\|x - x_0 \| < \varepsilon\right\}ε-окрестность точки x_0. Иными словами, множество открыто, если любая его точка является внутренней.

Например, промежуток как подмножество действительной прямой является открытым множеством.

Метрическое пространство[править | править исходный текст]

Пусть  (X,\rho) — некоторое метрическое пространство, и U \subset X. Тогда U называется открытым, если \forall x_0 \in U \; \exists \varepsilon > 0, такое что V_{\varepsilon}(x_0) \subset U, где V_{\varepsilon}(x_0) \equiv \{x \in X \mid \rho(x,x_0) < \varepsilon\} — ε-окрестность точки x_0 относительно метрики \rho.

Топологическое пространство[править | править исходный текст]

Обобщением приведённых выше определений является понятие открытого множества из общей топологии.

Топологическое пространство (X,\mathcal{T}) по определению содержит «перечень» своих открытых подмножеств \mathcal{T}«топологию», определённую на X. Подмножество U \subset X, такое, что оно является элементом топологии (то есть U \in \mathcal{T}), называется открытым множеством относительно топологии \mathcal{T}.

Важный подкласс открытых множеств образуют канонически открытые множества, каждое из которых является внутренностью (открытым ядром) какого-либо замкнутого множества (и, следовательно, совпадает с внутренностью своего замыкания). Всякое открытое множество G  содержится в наименьшем канонически открытом множестве — им будет внутренность замыкания множества G [3].

См. также[править | править исходный текст]

Примечания[править | править исходный текст]

  1. Appert, Antoine.  Sur le meilleur terme primitif en topologie // Cahiers du séminaire d'histoire des mathématiques. — 1982. — № 3. — С. 65.  (фр.)
  2. open set на everything2.com  (англ.)
  3. Александров П. С., Пасынков В. А.  Введение в теорию размерности. — М.: Наука, 1973. — 576 с. — C. 24—25.