Открытые проблемы в теории чисел
Теория чисел — это раздел математики, занимающийся преимущественно изучением натуральных и целых чисел и их свойств, часто с привлечением методов математического анализа и других разделов математики. Теория чисел содержит множество проблем, попытки решения которых предпринимались математиками в течение десятков, а иногда даже сотен лет, но которые пока так и остаются открытыми. Ниже приведены некоторые из наиболее известных нерешённых проблем.
Гипотезы о простых числах
[править | править код]- Сильная проблема Гольдбаха. Каждое чётное число, большее 2, можно представить в виде суммы двух простых чисел.
- Проблема Ризеля: поиск такого минимального нечётного , что число является составным для всех натуральных .
- Проблема Серпинского: поиск такого минимального нечётного натурального , что число является составным для всех натуральных .
- Простая проблема Серпинского: поиск такого минимального нечётного простого натурального , что число является составным для всех натуральных .
- Двойственная проблема Серпинского: поиск такого минимального нечётного натурального , что число является составным для всех натуральных . Связанный вопрос о тесте на простоту: если существует алгоритм, позволяющий быстро (за полиномиальное время) узнать, является ли число простым (строго, то есть не псевдопростым), то существует ли двойственный к нему алгоритм теста на простоту для чисел вида ? Ответ на последний вопрос позволил бы узнать, являются ли пять больших возможно простых из задания «Пять или провал» простыми или составными.
- Гипотеза Артина о бесконечности множества простых чисел, по модулю которых заданное целое число является первообразным корнем.
- Гипотеза Лежандра. Для любого натурального между и найдётся хотя бы одно простое число.
- Гипотеза Оппермана. Для любого натурального между и найдётся хотя бы одно простое число и между и — ещё хотя бы одно (другое) простое число.
- Гипотеза Андрицы. Функция (где — это -ое простое число) принимает значения, меньшие 1 для любого n.
- Гипотеза Брокара. Для любого натурального между и (где — это -ое простое число) найдётся хотя бы четыре простых числа.
- Гипотеза Фирузбэхт. Последовательность — строго убывающая (здесь — это -ое простое число).
- Гипотеза Полиньяка. Для любого чётного числа найдётся бесконечно много пар соседних простых чисел, разность между которыми равна .
- Гипотеза Аго — Джуги: верно ли, что если
- , то p — простое?
- Верно ли, что для любого положительного иррационального числа и любого положительного существует бесконечное количество пар простых чисел для которых выполняется неравенство ?[1]
- Сходится ли ряд ?[2] Но если он сходится, то простых чисел-близнецов конечно много. Это вытекает из теоремы о распределении простых чисел и признака Лейбница[источник не указан 2092 дня].
- Гипотеза Гильбрайта. Для любого натурального числа последовательность абсолютных разностей -го порядка для последовательности простых чисел начинается с 1. Абсолютные разности 1-го порядка — это абсолютные величины разностей между соседними простыми числами: разности 2-го порядка — это абсолютные величины разностей между соседними элементами в последовательности абсолютных разностей 1-го порядка: и т. д. Гипотеза проверена для всех n < 3,4×1011[3]
- Гипотеза Буняковского Если — целозначный неприводимый многочлен и d — наибольший общий делитель всех его значений, то целозначный многочлен принимает бесконечно много простых значений. 4-я проблема Ландау — частный случай этой гипотезы при .
- Гипотеза Диксона Если — конечное число арифметических прогрессий, то существует бесконечно много натуральных чисел n таких, что для каждого такого n все r чисел являются простыми одновременно. Причём из рассмотрения исключается тривиальный случай, когда существует такое простое p, что при любом n хотя бы одно число кратно p.
- Гипотеза Эллиота — Халберстама и её обобщение в теории простых чисел в модулях.
- Все ли числа Ферма составные при n > 4?
- Все ли числа Мерсенна с простыми индексами свободны от квадратов?
- Имеются ли двойные числа Мерсенна с индексами n > 60?
- Является ли число MM127 и следующие члены последовательности Каталана-Мерсенна простыми?
- Имеются ли простые числа Вольстенхольма, отличные от 16 843 и 2 124 679?
- Открытым является вопрос бесконечности количества простых чисел в каждой из следующих последовательностей[4]:
Последовательность | Название |
числа Мерсенна | |
4-я проблема Ландау | |
, | обобщение проблемы Ландау[5]. |
числа Каллена | |
числа Вудала | |
числа Ферма | |
числа Фибоначчи | |
пары | простые близнецы |
пары | простые числа Софи Жермен |
факториальные числа | |
праймориальные числа | |
, — нечетно, | числа Прота |
- Существует ли многочлен , кроме линейного, среди значений которого существует бесконечно много простых чисел?[6]
- Почему простые числа располагаются в цепочки вдоль диагоналей скатерти Улама?[6]
- Верно ли, что только три простых числа, а именно 5, 13 и 97, представимы в виде при некотором натуральном ?
Гипотезы о совершенных числах
[править | править код]- Не существует нечётных совершенных чисел.[7]
- Количество совершенных чисел бесконечно.
Гипотезы о дружественных числах
[править | править код]- Не существует взаимно простых дружественных чисел.
- Любая пара дружественных чисел имеет одинаковую чётность.
- Дружественных чисел бесконечно много.
- Найти количество гауссовых чисел, норма которых меньше заданной натуральной константы . В эквивалентной формулировке эта тема известна как «проблема круга Гаусса» в геометрии чисел[8]. См. последовательность A000328 в OEIS.
- Найти прямые на комплексной плоскости, содержащие бесконечно много простых гауссовых чисел. Две такие прямые очевидны — это координатные оси; неизвестно, существуют ли другие[9].
- Вопрос, известный под названием «ров Гаусса»: можно ли дойти до бесконечности, переходя от одного простого гауссова числа к другому скачками заранее ограниченной длины? Задача поставлена в 1962 году и до сих пор не решена[10].
- Каждое ли перечислимое множество имеет однократное диофантово представление?[11]
- Может ли не иметь однократного диофантова представления объединение двух множеств, каждое из которых имеет однократное диофантово представление?
- Каждое ли перечислимое множество имеет диофантово представление в виде уравнения степени 3 относительно всех переменных (параметров и неизвестных)?
- Каждое ли перечислимое множество имеет диофантово представление в виде уравнения степени 3 относительно неизвестных?
- Какое наименьшее число переменных может иметь универсальное диофантово уравнение? Какую наименьшую степень оно может иметь при таком числе переменных? Наименьший известный результат — 9 переменных. Наименьшая известная степень уравнения при 9 переменных превышает [12]
- Какое наименьшее число переменных может иметь универсальное диофантово уравнение степени 4? Наименьший известный результат составляет 58.
- Существует ли универсальное диофантово уравнение степени 3? Если да, то какое наименьшее число переменных оно может иметь?
- Какое наименьшее количество операций (сложений, вычитаний и умножений) может иметь универсальное диофантово уравнение? Наименьший известный результат составляет 100.
- Бесконечно ли множество решений диофантова уравнения ?[11]
- Существование прямоугольного параллелепипеда с тремя целочисленными рёбрами и целочисленными диагоналями.
- Гипотеза Холла об оценке сверху для решений диофантова уравнения Морделла при заданном .
Многие нерешённые проблемы (например, проблема Гольдбаха или гипотеза Римана) могут быть переформулированы как вопросы о разрешимости диофантовых уравнений 4-й степени некоторого специального вида, однако такая переформулировка обычно не делает проблему проще ввиду отсутствия общего метода решения диофантовых уравнений[13][11].
- Гипотеза Римана (теоретико-числовая формулировка). Верна ли следующая асимптотическая формула для распределения простых чисел:
- Известно, что количество точек с положительными целочисленными координатами в области, ограниченной гиперболой и положительными полуосями, выражается асимптотической формулой
- где — количество делителей числа k, — постоянная Эйлера — Маскерони, а может быть выбрано равным Однако, неизвестно, при каком наименьшем значении эта формула останется верной (известно, что оно не меньше, чем )[14][15][16]. Равно ли оно в точности ? Прямые вычисления приводят к этой гипотезе, поскольку оказывается почти нормальным распределением с дисперсией 1 для x вплоть до .
- Гипотеза Крамера о пробелах между простыми числами: .
- Ослабленная гипотеза Мертенса: доказать, что функция Мертенса оценивается как . Ослабленная гипотеза Мертенса эквивалентна гипотезе Римана.
- Первая гипотеза Харди — Литлвуда — гипотеза о плотности распределения кортежей простых чисел вида , утверждающая, в частности, что число таких кортежей бесконечно, исключая тривиальные случаи. Эта гипотеза является уточнением гипотезы о простых близнецах, а также является частным случаем гипотезы Диксона.
- Вторая гипотеза Харди — Литлвуда — гипотеза о логарифмическом свойстве функции числа простых чисел: . Доказано, что гипотезы Харди-Литлвуда обе сразу не могут быть верными и верна максимум одна[17].
- Гипотеза Сингмастера. Обозначим через количество раз, которое натуральное число , большее единицы, встречается в треугольнике Паскаля. Сингмастер показал, что , что в дальнейшем было улучшено до . Верно ли более сильное утверждение ?
- Гипотеза Зарембы. Для любого натурального числа q найдётся такое число p, что в разложении в цепную дробь все неполные частные не превосходят пяти. В 2011 году Жаном Бургейном и Алексом Конторовичем было доказано, что для дробей с неполными частными, ограниченными 50, гипотеза верна на множестве плотностью 1[18].
- Значения чисел Рамсея [19]. Точно известны только несколько первых чисел. Например, неизвестно, при каком наименьшем N в любой группе из N человек найдутся 5 человек, попарно знакомых друг с другом, или 5 человек, попарно незнакомых друг с другом — это число обозначается , про него известно только, что .
1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
2 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
3 | 1 | 3 | 6 | 9 | 14 | 18 | 23 | 28 | 36 | [40, 42] |
4 | 1 | 4 | 9 | 18 | 25 | [36, 41] | [49, 61] | [59, 84] | [73, 115] | [92, 149] |
5 | 1 | 5 | 14 | 25 | [43, 48] | [58, 87] | [80, 143] | [101, 216] | [133, 316] | [149, 442] |
6 | 1 | 6 | 18 | [36, 41] | [58, 87] | [102, 165] | [115, 298] | [134, 495] | [183, 780] | [204, 1171] |
7 | 1 | 7 | 23 | [49, 61] | [80, 143] | [115, 298] | [205, 540] | [217, 1031] | [252, 1713] | [292, 2826] |
8 | 1 | 8 | 28 | [56, 84] | [101, 216] | [127, 495] | [217, 1031] | [282, 1870] | [329, 3583] | [343, 6090] |
9 | 1 | 9 | 36 | [73, 115] | [133, 316] | [183, 780] | [252, 1713] | [329, 3583] | [565, 6588] | [580, 12677] |
10 | 1 | 10 | [40, 42] | [92, 149] | [149, 442] | [179, 1171] | [289, 2826] | [343, 6090] | [581, 12677] | [798, 23556] |
- Значения чисел ван дер Вардена. На данный момент известны значения только 6 первых чисел[20]: 1, 3, 9, 35, 178 и 1132. Например, неизвестно, при каком наименьшем N при любом разбиении множества на два подмножества хотя бы одно из них будет содержать арифметическую прогрессию длиной 7 (известно, что , где выражение для верхней границы использует тетрацию)[21].
Другие проблемы
[править | править код]- Пусть — положительное число такое, что и — целые числа. Может ли не быть целым числом?
- Существование слегка избыточных чисел.
- Существование цикла из трёх компанейских чисел.
- Существуют ли попарно различные натуральные числа такие, что ?[22]
- Существуют ли две различные пифагоровы тройки, имеющие одинаковое произведение?[23]
- Гипотеза Била. Если где — натуральные и , то имеют общий простой делитель.
- Гипотеза Эрдёша. Если сумма обратных величин для некоторого множества натуральных чисел расходится, то в этом множестве можно найти сколь угодно длинную арифметическую прогрессию.
- Насколько велика может быть сумма обратных величин последовательности натуральных чисел, в которой никакой элемент не равен сумме нескольких других различных элементов? (Эрдёш)[24]
- Гипотеза Коллатца (гипотеза 3n+1).
- Гипотеза жонглёра. Любая последовательность жонглёра достигает 1[25]. Последовательность жонглёра описывается рекурсивной формулой:
- Задача Брокара. Имеет ли уравнение решения в натуральных числах, кроме (4, 5), (5, 11) и (7, 71)?[26]
- Гипотеза Томашевски. Только числа 1, 6 и 120 являются одновременно треугольными и факториалами[27]. В альтернативной формулировке сводится к решению уравнения в натуральных числах.
- Конечно ли множество решений уравнения В настоящее время известно только 5 решений[28].[29][30]
- Верно ли утверждение, что квадрат всякого рационального числа представим в виде суммы четвёртых степеней четырёх рациональных чисел?
- Проблема Варинга и её обобщения:
- Конечно ли множество натуральных чисел, которые нельзя представить в виде суммы 6 кубов неотрицательных целых чисел?[31] Аналогичный вопрос стоит для сумм 5 и 4 кубов, а также для многих чисел слагаемых со степенями выше 4.
- С какой точностью натуральное число можно представить суммой квадратов двух целых чисел?
- Проблема 196. Существуют ли такие натуральные числа, которые в результате повторения операции «перевернуть и сложить», никогда не превратятся в палиндром?
- Возможно ли представление любого целого числа в виде (алгебраической) суммы четырёх кубов?[32]
- неизвестно доказательство этого утверждения;
- неизвестен пример числа, которое представить таким образом нельзя.
- Три из четырёх гипотез Поллока о фигурных числах.
- Существует ли точная четвёртая степень с суммой цифр, равной четырём?
См. также
[править | править код]- Открытые математические проблемы — проблемы из других разделов математики
Примечания
[править | править код]- ↑ Mathematical developments arising from Hilbert problems, стр. 39
- ↑ Weisstein, Eric W. Prime Sums (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
- ↑ Weisstein, Eric W. Гипотеза Гильбрайта (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
- ↑ Weisstein, Eric W. Integer Sequence Primes (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
- ↑ Стюарт, 2015, с. 68.
- ↑ 1 2 Матиясевич, Ю. В. Формулы для простых чисел Архивная копия от 4 марта 2016 на Wayback Machine // Квант. — 1975. — Т. 1. — № 5. — С. 8.
- ↑ Стюарт, 2015, с. 404.
- ↑ Conway J. H., Sloane N. J. A. Sphere Packings, Lattices and Groups. — Springer-Verlag. — P. 106.
- ↑ Ribenboim, Paulo. The New Book of Prime Number Records, Ch.III.4.D Ch. 6.II, Ch. 6.IV. — 3rd ed. — New York: Springer, 1996. — ISBN 0-387-94457-5.
- ↑ Guy Richard K. Unsolved problems in number theory. — 3rd ed. — New York: Springer, 2004. — P. 55—57. — ISBN 978-0-387-20860-2.
- ↑ 1 2 3 Ю. В. Матиясевич. Упражнение 2.10 // Десятая проблема Гильберта. — М.: Наука, 1993. — 223 с. — (Математическая логика и основания математики; выпуск № 26). — ISBN 502014326X. Архивировано 28 октября 2013 года.
- ↑ Jones J. P. Undecidable diophantine equations (англ.) // Bull. Amer. Math. Soc. : journal. — 1980. — Vol. 3. — P. 859—862. — doi:10.1090/S0273-0979-1980-14832-6.
- ↑ Yuri Matiyasevich, Hilbert’s Tenth Problem: What was done and what is to be done Архивная копия от 13 июня 2010 на Wayback Machine
- ↑ А. А. Бухштаб. Теория чисел. — М.: Просвещение, 1966. Архивировано 13 января 2012 года.
- ↑ И. М. Виноградов. Аналитическая теория чисел // Математическая энциклопедия. — Советская энциклопедия . — М., 1977—1985.
- ↑ Weisstein, Eric W. Dirichlet Divisor Problem (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
- ↑ 447-tuple calculations . Дата обращения: 12 августа 2008. Архивировано 28 декабря 2012 года.
- ↑ J. Bourgain, A. Kontorovich. On Zaremba’s Conjecture.
- ↑ Stanisław Radziszowski. Small Ramsey Numbers (англ.) // The Electronic Journal of Combinatorics. — 2017. — 3 March. — ISSN 1077-8926. Архивировано 29 мая 2017 года. (revision 15)
- ↑ Последовательность A005346 в OEIS
- ↑ Weisstein, Eric W. Число ван дер Вардена (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
- ↑ Unsolved Problem 18: Are there distinct positive integers, a, b, c, and, d such that a^5+b^5=c^5+d^5? Архивная копия от 6 марта 2012 на Wayback Machine Unsolved Problem of the Week Архивная копия от 25 июля 2011 на Wayback Machine. MathPro Press.
- ↑ Weisstein, Eric W. Пифагорова тройка (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
- ↑ Weisstein, Eric W. A-Sequence (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
- ↑ Последовательности A007320, A094716 в OEIS
- ↑ Weisstein, Eric W. Проблема Брокарда (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
- ↑ Последовательности A000142, A000217 в OEIS
- ↑ Weisstein, Eric W. Число 2 (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
- ↑ 2^n mod n — OeisWiki . Дата обращения: 6 января 2014. Архивировано 6 января 2014 года.
- ↑ Internet Archive: Scheduled Maintenance
- ↑ Weisstein, Eric W. Cubic Number (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
- ↑ Дмитрий Максимов. О суммах квадратов и кубов // Наука и жизнь. — 2020. — № 9. — С. 85. Архивировано 23 сентября 2020 года.
Литература
[править | править код]- Иэн Стюарт. Величайшие математические задачи. — М.: Альпина нон-фикшн, 2015. — 460 с. — ISBN 978-5-91671-318-3.
- Shanks, Daniel. Solved and Unsolved Problems in Number Theory. — 5th ed.. — New York: AMS Chelsea, 2002. — ISBN 978-0-8218-2824-3.