Отношение эквивалентности

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Отношение эквивалентности — абстрактное бинарное отношение между элементами данного множества, которое ведёт себя сходно с отношением равенства.

Определение[править | править вики-текст]

Отношение эквивалентности () на множестве  — это бинарное отношение, для которого выполнены следующие условия:

  1. рефлексивность: для любого в ;
  2. симметричность: если , то ;
  3. транзитивность: если и , то .

Запись вида «» читается как « эквивалентно ».

Связанные определения[править | править вики-текст]

Классом эквивалентности элемента называется подмножество элементов, эквивалентных ; то есть,

.

Из вышеприведённого определения немедленно следует, что если , то .

Фактормножество — множество всех классов эквивалентности заданного множества по заданному отношению , обозначается .

Для класса эквивалентности элемента используются следующие обозначения: , , .

Множество классов эквивалентности по отношению является разбиением множества.

Примеры[править | править вики-текст]

  • Равенство»), тривиальное отношение эквивалентности на любом множестве, в частности, вещественных чисел.
  • Сравнение по модулю, («а ≡ b (mod n)»).
  • В евклидовой геометрии
  • Эквивалентность функций в математическом анализе:
    Говорят, что функция эквивалентна функции при , если она допускает представление вида , где при . В этом случае пишут , напоминая при необходимости, что речь идёт о сравнении функций при . Если при , эквивалентность функций и при , очевидно, равносильна соотношению .
  • Отношение равномощности множеств.

Классы эквивалентности[править | править вики-текст]

Множество всех классов эквивалентности, отвечающее отношению эквивалентности , обозначается символом и называется фактор-множеством относительно . При этом сюръективное отображение

называется естественным отображением (или канонической проекцией) на фактор-множество .

Пусть и  — множества,  — отображение, тогда бинарное отношение , определённое правилом

,

является отношением эквивалентности на . При этом отображение индуцирует отображение , определяемое правилом

или, что то же самое,

.

При этом получается факторизация отображения на сюръективное отображение и инъективное отображение .

См. также[править | править вики-текст]

Литература[править | править вики-текст]

  • А. И. Кострикин, Введение в алгебру. М.: Наука, 1977, 47—51.
  • А. И. Мальцев, Алгебраические системы, М.: Наука, 1970, 23—30.
  • Отношение типа равенства (отношение эквивалентности) // Большая Советская энциклопедия (в 30 т.) / А. М. Прохоров (гл. ред.). — 3-е изд. — М: Сов. энциклопедия, 1974. — Т. XVIII. — С. 629. — 632 с.