Отношение (математика)

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Отношение — математическая структура, которая формально определяет свойства различных объектов и их взаимосвязи. Отношения обычно классифицируются по количеству связываемых объектов (арность) и собственным свойствам (симметричность, транзитивность и пр.). В математике примерами отношений являются равенство (=), коллинеарность, делимость и т. д.

Отношение может также означать результат операции деления, например:

Формальное определение[править | править исходный текст]

n-местным (n-арным) отношением, заданным на множествах M_1,M_2,\ldots,M_n, называется подмножество прямого произведения этих множеств.

Иногда понятие отношения определяется только для частного случая M=M_1=M_2=\ldots=M_n для отношения R. Тогда факт принадлежности n-ки этому отношению можно записать как:

\langle x_1, x_2, \dots, x_n\rangle\in R.

Арность[править | править исходный текст]

Примеры[править | править исходный текст]

  • Отношение равенства на множестве вещественных чисел — бинарное отношение, обозначаемое символом «=». Ему принадлежат все пары вида \langle x, x\rangle, и только они.
  • Отношение делимости на множестве натуральных чисел — бинарное отношение, обычно обозначаемое символом « | ». Состоит из пар вида \langle x, y\rangle, где x делит y нацело.

Отношения и предикаты[править | править исходный текст]

Отношение также может быть задано предикатом на n-й декартовой степени множества M: n-ка принадлежит отношению тогда и только тогда, когда предикат на ней возвращает значение 1 (или «истинно»). Таким образом, можно дать альтернативное определение отношения: если задано отображение f: M^n \rightarrow \{0,1\}, то отношением R называется прообраз единицы в f. Такое определение бывает полезно в информатике и математической логике.

Предикаты, которые формируются из отношений, заданных в соответствии с основным определением (когда множества в прямом произведении различны), используются в многосортном исчислении предикатов.[1]

Операции с отношениями[править | править исходный текст]

Система отношений, сформированная на одном и том же прямом произведении множеств, изоморфна алгебре множеств и допускает применение теоретико-множественных операций и проверок включения одного отношения в другое. Элементами множеств в этом случае являются кортежи элементов (n-ки).

Для отношений, у которых это ограничение не выполняется, теоретико-множественные операции не применимы, но возможны такие операции как соединение и композиция, которые используются в алгебре Кодда, алгебре кортежей и реляционной алгебре.

См. также[править | править исходный текст]

Примечания[править | править исходный текст]

  1. Колмогоров А. Н., Драгалин А. Г. Введение в математическую логику. — М.: Изд-во МГУ, 1982.