Отображение Шварца — Кристоффеля

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Теорема Шварца — Кристоффеля — важная теорема в теории функций комплексного переменного, носит название немецких математиков Карла Шварца и Элвина Кристоффеля.

Очень важной с практической точки зрения является проблема о конформном отображении некой канонической области (единичного круга или верхней полуплоскости ) на внутренность произвольного многоугольника. Важность следующей теоремы в том, что она дает общий вид таких отображений.


Теорема[править | править вики-текст]

Предположим, что  — некоторый -угольник, а функция осуществляет конформное отображение на . Тогда можно представить в виде

,

где  — прообразы вершин на вещественной оси,  — радианные меры соответствующих внутренних углов, деленные на (то есть, развернутый угол соответствует нулевой степени), а и  — так называемые акцессорные параметры. Интеграл в правой части имеет собственное название — его называют интегралом Шварца — Кристоффеля I рода.

В случае, если прообраз одной из вершин многоугольника находится в бесконечности, то формула немного видоизменяется. Если -ая вершина имеет своим прообразом бесконечно удалённую точку, то формула будет иметь вид

,

то есть множитель, соответствующий этой вершине, будет просто отсутствовать. Такой интеграл будет интегралом Шварца — Кристоффеля II рода.

Трудность использования этих формул состоит в том, что точки , как и акцессорные параметры, в общем случае неизвестны. Для их вычисления обычно на многоугольник накладываются какие-то дополнительные нормировки, либо вычисление производится приближённо (что применяется на практике).