Парабола

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
Парабола
Парабола, её фокус и директриса
Коническое сечение:
Парабола как коническое сечение
Эксцентриситет: ~\textstyle e=1
Уравнение: 
\begin{smallmatrix}
y=x^2\\[10pt]
y=ax^2+bx+c\\[10pt]
Ax^2+Bxy+Cy^2+Dx+Ey=F \\
(B^2-4AC=0)
\end{smallmatrix}
гипербола  · парабола  · эллипс  · окружность

Пара́бола (греч. παραβολή — приложение) — геометрическое место точек, равноудалённых от данной прямой (называемой директрисой параболы) и данной точки (называемой фокусом параболы).

Наряду с эллипсом и гиперболой, парабола является коническим сечением. Она может быть определена как коническое сечение с единичным эксцентриситетом.

Изображение конического сечения, являющегося параболой
Построение параболы как конического сечения
Конические сечения

Вершина[править | править вики-текст]

Точка параболы, ближайшая к её директрисе, называется вершиной этой параболы. Вершина является серединой перпендикуляра, опущенного из фокуса на директрису.

Уравнения[править | править вики-текст]

Каноническое уравнение параболы в прямоугольной системе координат:

~\textstyle y^2=2px, p>0 (или ~\textstyle x^2=2py, если поменять местами оси).

Число p называется фокальным параметром, оно равно расстоянию от фокуса до директрисы[1]. Поскольку каждая точка параболы равноудалена от фокуса и директрисы, то и вершина — тоже, поэтому она лежит между фокусом и директрисой на расстоянии \frac{p}{2} от обоих.

Парабола, заданная квадратичной функцией[править | править вики-текст]

Квадратичная функция ~y=ax^2+bx+c при ~a\neq 0 также является уравнением параболы и графически изображается той же параболой, что и ~y=ax^2, но в отличие от последней имеет вершину не в начале координат, а в некоторой точке A, координаты которой вычисляются по формулам:

~x_\textrm{A}=-\frac{b}{2a},\;y_\textrm{A}=-\frac{D}{4a}, где  D=b^2-4ac — дискриминант квадратного трёхчлена.

Ось симметрии параболы, заданной квадратичной функцией, проходит через вершину параллельно оси ординат. При a > 0 (a < 0) фокус лежит на этой оси над (под) вершиной на расстоянии 1/4a, а директриса — под (над) вершиной на таком же расстоянии и параллельна оси абсцисс. Уравнение ~y=ax^2+bx+c может быть представлено в виде ~y=a(x-x_\textrm{A})^2+y_\textrm{A}, а в случае переноса начала координат в точку A уравнение параболы превращается в каноническое. Таким образом, для каждой квадратичной функции можно найти систему координат такую, что в этой системе уравнение соответствующей параболы представляется каноническим. При этом p=\frac{1}{|2a|}.

Общее уравнение параболы[править | править вики-текст]

В общем случае парабола не обязана иметь ось симметрии, параллельную одной из координатных осей. Однако, как и любое другое коническое сечение, парабола является кривой второго порядка и, следовательно, её уравнение на плоскости в декартовой системе координат может быть записано в виде квадратного многочлена:

Ax^2+Bxy+Cy^2+Dx+Ey+F=0.

Если кривая второго порядка, заданная в таком виде, является параболой, то составленный из коэффициентов при старших членах дискриминант B^2-4AC равен нулю.

Уравнение в полярной системе[править | править вики-текст]

Парабола в полярной системе координат (\rho,\vartheta) с центром в фокусе и нулевым направлением вдоль оси параболы (от фокуса к вершине) может быть представлена уравнением

\rho (1 + \cos \vartheta) = p,

где p — фокальный параметр (расстояние от фокуса до директрисы или удвоенное расстояние от фокуса до вершины)

Расчёт коэффициентов квадратичной функции[править | править вики-текст]

Если для уравнения параболы с осью, параллельной оси ординат, ~y = ax^2 + bx + c известны координаты трёх различных точек параболы ~(x_{1}; y_{1}), \;(x_{2}; y_{2}), \;(x_{3}; y_{3}), то его коэффициенты могут быть найдены так:

a=\frac{y_{3}-\tfrac{x_{3}(y_{2}-y_{1})+x_{2}y_{1}-x_{1}y_{2}}{x_{2}-x_{1}}}{x_{3}(x_{3}-x_{1}-x_{2})+x_{1}x_{2}}, \ \ 
b=\frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}-a(x_{1}+x_{2}), \ \ 
c=\frac{x_{2}y_{1}-x_{1}y_{2}}{x_{2}-x_{1}}+ax_{1}x_{2}.

Если же заданы вершина (x_0;y_0) и старший коэффициент a, то остальные коэффициенты и корни вычисляются по формулам:

b=-2ax_0
c=ax_0^2+y_0
x_1=x_0+\sqrt{-\frac{y_0}{a}}
x_2=x_0-\sqrt{-\frac{y_0}{a}}

Свойства[править | править вики-текст]

Отражательное свойство параболы (оптика)
Расстояние от Pn до фокуса F такое же, как и от Pn до Qn (на директрисе L)
Длина линий FPnQn одинакова. Можно сказать, что, в отличие от эллипса, второй фокус у параболы — в бесконечности (см. также Шары Данделена)
  • Парабола — кривая второго порядка.
  • Она имеет ось симметрии, называемой осью параболы. Ось проходит через фокус и вершину перпендикулярно директрисе.
  • Оптическое свойство. Пучок лучей, параллельных оси параболы, отражаясь в параболе, собирается в её фокусе. И наоборот, свет от источника, находящегося в фокусе, отражается параболой в пучок параллельных её оси лучей.
  • Если фокус параболы отразить относительно касательной, то его образ будет лежать на директрисе.
  • Отрезок, соединяющий середину произвольной хорды параболы и точку пересечения касательных к ней в концах этой хорды, перпендикулярен директрисе, а его середина лежит на параболе.
  • Парабола является антиподерой прямой.
  • Все параболы подобны. Расстояние между фокусом и директрисой определяет масштаб.

Связанные определения[править | править вики-текст]

Параболы в физическом пространстве[править | править вики-текст]

Параболический компас Леонардо да Винчи

Траектории некоторых космических тел (комет, астероидов и других), проходящих вблизи звезды или другого массивного объекта (звезды или планеты) на достаточно большой скорости имеют форму параболы (или гиперболы). Эти тела вследствие своей большой скорости не захватываются гравитационным полем звезды и продолжают свободный полёт. Это явление используется для гравитационных манёвров космических кораблей (в частности аппаратов Вояджер).

Для создания невесомости в земных условиях проводятся полёты самолётов по параболической траектории, так называемой параболе Кеплера.

При отсутствии сопротивления воздуха траектория полёта тела в приближении однородного гравитационного поля представляет собой параболу.

Также параболические зеркала используются в любительских переносных телескопах систем Кассергена, Шмидта — Кассергена, Ньютона, а в фокусе параболы устанавливают вспомогательные зеркала, подающие изображение на окуляр.

При вращении сосуда с жидкостью вокруг вертикальной оси поверхность жидкости в сосуде и вертикальная плоскость пересекаются по параболе.

Свойство параболы фокусировать пучок лучей, параллельных оси параболы, используется в конструкциях прожекторов, фонарей, фар, а также телескопов-рефлекторов (оптических, инфракрасных, радио…), в конструкции узконаправленных (спутниковых и других) антенн, необходимых для передачи данных на большие расстояния, солнечных электростанций и в других областях.

Форма параболы иногда используется в архитектуре для строительства крыш и куполов.

Параболы, вписанные в треугольник[править | править вики-текст]

  • В треугольник можно вписать бесконечно много парабол.
Свойства вписанной параболы

Парабола Киперта[править | править вики-текст]

Парабола Киперта

Парабола, вписанная в треугольник, имеющая директрисой прямую Эйлера, называется параболой Киперта. Её перспектор — четвёртая точка пересечения описанной окружности и описанного эллипса Штейнера, называемая точкой Штейнера

См. также[править | править вики-текст]

Примечания[править | править вики-текст]

  1. Александров П.С. Парабола // Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. — М.: Наука, 1979. — С. 69—72. — 512 с.
  2. Акопян А. В., Заславский А. А.. Геометрические свойства кривых второго порядка. — 2-е изд., дополн.. — 2011. — С. 110.
  3. Акопян А. В., Заславский А. А.. Геометрические свойства кривых второго порядка. — 2-е изд., дополн.. — 2011. — С. 27—28.

Литература[править | править вики-текст]

Ссылки[править | править вики-текст]

Логотип Викисловаря
В Викисловаре есть статья «парабола»