Парадокс Симпсона

Парадокс Симпсона для количественных данных: для каждой из групп в отдельности проявляется положительная тенденция ( ,  ), тогда как для их объединения имеет место отрицательная ( ).

Парадокс Симпсона (также Парадокс Юла — Симпсона или парадокс объединения) — явление в статистике, когда при наличии двух групп данных, в каждой из которых наблюдается одинаково направленная зависимость, при объединении этих групп направление зависимости меняется на противоположное. Например, подсчёты по некоторой группе людей могут говорить, что определённое лекарство увеличивает шанс выздоровления, и при этом если разделить группу на две (мужчин и женщин), то оказывается, что это лекарство уменьшает шанс выздоровления в каждой группе.

Это явление было описано Эдвардом Симпсоном в 1951 году и Удни Юлом в 1903 году. Название «парадокс Симпсона» впервые предложил Колин Блайт в 1972 году. Однако, так как Симпсон не был первооткрывателем этого эффекта, некоторые авторы используют безличные названия, например, «парадокс объединения».

История открытия парадокса

Первый раз рассматриваемая ситуация отмечена Карлом Пирсоном в статье «Математический вклад в теорию эволюции». Он рассматривает зависимость признаков разнородных групп лошадей. Удни Юл делает более подробный анализ подобных популяционных изменений, изучая механизмы наследственности. Симпсон рассматривает то, что он называет «любопытным случаем» в нескольких разделах статьи «The Interpretation of Interaction in Contingency Tables». Симпсон был первым автором, изучавшим это явление с точки зрения статистики. Поэтому впоследствии математик К. Р. Блайт в статье «On Simpson’s Paradox and the Sure-Thing Principle» вводит термин «парадокс Симпсона».

Примеры

Пример с фишками

Пусть есть четыре шляпы (две чёрных и две серых), 41 фишка (23 цветных и 18 белых) и два стола (А и Б). Фишки распределены по шляпам следующим образом:

• В чёрной шляпе на столе А лежат 5 цветных и 6 белых фишек.
• В серой шляпе на столе А лежат 3 цветные и 4 белые фишки.
• В чёрной шляпе на столе Б лежат 6 цветных и 3 белых фишки.
• В серой шляпе на столе Б лежат 9 цветных и 5 белых фишек.

Допустим, что вы хотите вытащить цветную фишку.

Если вы находитесь около стола А, то вероятность извлечь цветную фишку из чёрной шляпы равна 5/11 = 35/77, а из серой шляпы на том же столе — 3/7 = 33/77; таким образом, цветную фишку больше шансов вытащить из чёрной шляпы, чем из серой.

Если вы находитесь около стола Б, то вероятность извлечь цветную фишку из чёрной шляпы равна 6/9 = 84/126, а из серой шляпы — 9/14 = 81/126; таким образом, и здесь цветную фишку больше шансов вытащить из чёрной шляпы, чем из серой.

Допустим теперь, что фишки из двух чёрных шляп сложены в одну чёрную шляпу, а фишки из двух серых шляп — в одну серую шляпу. На первый взгляд, логично было бы предположить, что вероятность вытащить цветную фишку из чёрной шляпы выше, чем из серой. Но это неверно:

• вероятность вытащить цветную фишку из чёрной шляпы равна 11/20 = 231/420,
• вероятность вытащить цветную фишку из серой шляпы равна 12/21 = 240/420,

то есть больше шансов извлечь цветную фишку из серой шляпы, чем из чёрной.

Пример с камнями

Пусть мы имеем четыре набора камней. Вероятность вытащить чёрный камень из набора № 1 выше, чем из набора № 2. В свою очередь, вероятность вытащить чёрный камень из набора № 3 больше, чем из набора № 4. Объединим набор № 1 с набором № 3 (получим набор I), а набор № 2 — с набором № 4 (набор II). Интуитивно можно ожидать, что вероятность вытащить чёрный камень из набора I будет выше, чем из набора II. Однако в общем случае такое утверждение неверно.

Действительно, пусть $n_{i}$ — число чёрных камней в $i$-ом наборе (выборке), $m_{i}$ — общее число камней в $i$-ом наборе при $i=1,2,3,4$. По условию:

${\frac {n_{1}}{m_{1}}}>{\frac {n_{2}}{m_{2}}},\ {\frac {n_{3}}{m_{3}}}>{\frac {n_{4}}{m_{4}}}.$

Вероятность вытащить чёрный камень из наборов I и II, соответственно:

${\frac {n_{1}+n_{3}}{m_{1}+m_{3}}},\ {\frac {n_{2}+n_{4}}{m_{2}+m_{4}}}.$

Выражение для набора I не всегда больше выражения для набора II; то есть может случится, что

${\frac {n_{1}+n_{3}}{m_{1}+m_{3}}}<{\frac {n_{2}+n_{4}}{m_{2}+m_{4}}}.$

Например, при $n_{1}=6$, $m_{1}=13$, $n_{2}=4$, $m_{2}=9$, $n_{3}=6$, $m_{3}=9$, $n_{4}=9$, $m_{4}=14$. Легко проверить, что $6/13>4/9$, $6/9>9/14$, в то время как $12/22<13/23$.

Причины

Причина парадокса заключается в некорректном усреднении двух групп данных с различной долей контрольных наблюдений (нерепрезентативная выборка). Поскольку интуитивно предполагается, что при применении найденных зависимостей доля контрольных будет одинаковой в обеих группах, а в исходных данных это не выполняется, то к ним нельзя применять арифметическое усреднение.

Для устранения проблемы, при усреднении необходимо использовать веса, устраняющие перекос доли контрольных. Так, в примере с фишками доля фишек в серой шляпе на столе А — 7 из 18 (39 %), а на столе Б — 14 из 23 (61 %).

Для репрезентативного усреднения шанса вытянуть цветную фишку достаточно умножить количество фишек обоих цветов в одной из шляп на весовой коэффициент, устраняющий перекос. Например, если вместо одной серой шляпы на столе А поставить две таких же шляпы, то вероятности для каждого стола в отдельности не изменятся, но для объединения столов парадокс будет устранён: вероятность цветной фишки в серой шляпе станет 15/28, то есть меньше, чем из чёрной.

Другой способ разрешения парадокса — использование формулы полной вероятности.

Парадокс Симпсона показывает, что выводы из результатов социологических опросов с нерепрезентативной выборкой нельзя принимать как неопровержимые, доказанные научным путём.

Практическая значимость

Парадокс Симпсона иллюстрирует неправомерность объединений нерепрезентативных выборок без учёта систематического перекоса выборки данных.

Например, в ходе эксперимента в группе мужчин и группе женщин, больных одной и той же болезнью, к стандартному лечению прибавили новый лекарственный препарат. Результат по обеим группам в отдельности подтверждал эффективность нового средства.

Мужчины	Принимавшие лекарство	Не принимавшие лекарство
Выздоровевшие	700	80
Невыздоровевшие	800	130
Соотношение	0.875	0.615

Женщины	Принимавшие лекарство	Не принимавшие лекарство
Выздоровевшие	150	400
Невыздоровевшие	70	280
Соотношение	2.142	1.429

Интуитивно предполагается, что если в обеих группах прослеживается зависимость, она должна проявиться и при объединении этих групп. Но хотя соотношение выздоровевших и больных среди и женщин, и мужчин, принимавших лекарство, больше, чем среди тех из них, кто его не использовал, в связи с нерепрезентативностью контрольной группы в агрегированных данных эта закономерность не сохраняется.

Сумма	Принимавшие лекарство	Не принимавшие лекарство
Выздоровевшие	850	480
Невыздоровевшие	870	410
Соотношение	0.977	1.171

Соотношение в агрегированных данных 850/870<480/410, то есть 0,977<1,171, и доля выздоровевших среди принимавших лекарство оказывается меньше той же доли среди не принимавших.

Для устранения парадокса нужно обратить внимание, что отношение контрольной группы к группе воздействия в приведённых группах резко различается: у мужчин составляет (80+130)/(700+800) = 14%, а у женщин (400+280)/(150+70) = 309%.

Это явно систематическая погрешность, и для корректного усреднения нужно обеспечить репрезентативность контрольной группы в обеих выборках, введя весовые коэффициенты так, чтобы взвешенная доля контрольных в обеих группах стала одинаковой. В данном случае достаточно повысить вес результата тех редких мужчин, кто не принимал лекарства, в 22.07 раза.

Измененные таблицы будут выглядеть так:

Мужчины	Принимавшие лекарство	Не принимавшие лекарство
		исходные	с весом x22.07
Выздоровевшие	700	80	1765
Невыздоровевшие	800	130	2869
Соотношение	0.875	0.615

Сумма	Принимавшие лекарство	Не принимавшие лекарство
		исходные	с весом x22.07
Выздоровевшие	850	480	2165
Невыздоровевшие	870	410	3149
Соотношение	0.977	1.171	0.685

Соотношение взвешенного количества выздоровевших к не выздоровевшим среди не принимавших лекарство в этом случае составит 0,685, то есть ниже, чем у принимавших лекарство. Это устраняет парадокс и показывает отношение выздоровевших к не выздоровевшим без приема лекарства для такой же пропорции мужчин и женщин, как у принимавших лекарство, что позволяет сравнивать эти цифры.

См. также

• Феномен Уилла Роджерса

Ссылки

• Использование парадокса Симпсона в модели из живых бактерий — на сайте «Элементы»
• Секей Г. Парадоксы в теории вероятности и математической статистики — М.: Мир, 1990. — С. 132—133. — 240 с.
• Judea Pearl. Simpson’s Paradox: An Anatomy. — Technical report — April 1999 — 11 p. (англ.)
• Earliest Known Uses of Some of the Words of Mathematics (S) — Sept. 24, 2011 (англ.)
• Simpson’s Paradox — First published Mon Feb 2, 2004; substantive revision Thu Aug 6, 2009 (англ.)
• And now, who should kick the penalty? (недоступная ссылка) — Практический пример парадокса Симпсона на сайте «Matifutbol» (недоступная ссылка) (англ.)