Выворачивание сферы

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
(перенаправлено с «Парадокс Смейла»)
Перейти к: навигация, поиск
Один из способов выворачивания сферы, промежуточная конфигурация, поверхность Морена (англ.)

Выворачивание сферы — процесс перемены местами внешней и внутренней поверхностей сферы в трёхмерном пространстве в рамках условий дифференциальной топологии. Допускается самопересечение поверхностей, но в каждый момент времени она не имеет разрывов и сохраняет гладкость. Другими словами, образ сферы в каждый момент деформации должен оставаться дифференцируемым.

Возможность выворачивания сферы была впервые открыта американским математиком Стивеном Смейлом. Представить конкретный пример такого преобразования достаточно сложно, поэтому этот результат называют парадоксом Смейла[1]. Для наглядности объяснения было создано множество визуализаций.

Формулировка[править | править вики-текст]

Точная формулировка теоремы о возможности выворачивания сферы звучит следующим образом:

Пусть есть стандартное вложение сферы в трёхмерное пространство. Тогда существует непрерывное однопараметрическое семейство гладких погружений , такое, что и .


История[править | править вики-текст]

Возможность выворачивания сферы была впервые открыта американским математиком Стивеном Смейлом в 1957 году. Рауль Ботт, дипломный консультант Смейла, сперва заявил, что результат очевидно неверен. Он объяснил это тем, что при таком преобразовании должна сохраняться степень отображения Гаусса. Например, нет такого преобразования для окружности в рамках плоскости. Однако для трёхмерного пространства степени отображений Гаусса у и у в обе равны 1 и не имеют противоположные знаки, вопреки ошибочному предположению. Степень отображения Гаусса для всех погружений S2 в R3 равна 1, таким образом нет никаких препятствий. До работы Смейла не существовало задокументированной попытки обоснования либо опровержения выворачивания S2, и последующие работы были уже post factum. В последствии те, кто поначалу отвергал эту идею, признали её возможность, но с большой сложностью для визуализации.

Вариации и обобщения[править | править вики-текст]

  • Выворачивание сферы можно осуществить также в классе -гладких изометрических погружений.[2]

Примечания[править | править вики-текст]

  1. Е. А. Кудрявцева,. “Реализация гладких функций на поверхностях в виде функций высоты”. Матем. сб., 190:3 (1999), 32. www.mathnet.ru. Проверено 23 февраля 2017.
  2. Громов, М. Дифференциальные соотношения в частных производных.

Литература[править | править вики-текст]

Ссылки[править | править вики-текст]