Парадокс закономерности

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску

Парадо́кс закономе́рности — наблюдение, заключающееся в том, что большинство людей, увидев явную закономерность в результатах серии испытаний (например, выпадение 10 раз подряд одного и того же исхода из двух равновероятных), будут склонны считать, что испытания не являются случайными, потому что появление этой последовательности в случайных испытаниях является маловероятным событием. Однако вероятности появления любой последовательности из 10 значений в независимых случайных испытаниях с двумя равновероятными исходами одинаковы и равны , то есть настолько же маловероятны[1].

Описание[править | править код]

Парадокс может быть проиллюстрирован с помощью следующей игры с двумя участниками. Первый участник подбрасывает монету 50 раз и записывает результаты бросаний на листе бумаги (пусть орёл обозначается 1, а решка — 0). Второй участник не видит результатов этих испытаний. На втором листе бумаги первый участник пишет любую последовательность такой же длины из нулей и единиц (его мотивы и способ формирования этой последовательности преднамеренно не раскрываются). Затем листы бумаги перемешиваются и отдаются второму участнику. Оказалось, что на одном из них написано:

00111100000100110100000111010111101000111101011010 (последовательность A),

а на другом:

11111111111111111111111111111111111111111111111111 (последовательность B).

Второй участник должен угадать, на каком из листов записан результат бросания монеты. Для идеальной монеты, у которой вероятность выпадения орла в каждом бросании равна точно 1/2, все возможные последовательности равновероятны. Поэтому, если он выберет лист произвольно, то вероятность правильного ответа будет 1/2. Есть ли у него возможность увеличить шансы правильного ответа?

Парадокс возникает между следующими утверждениями:

  • Выбрав лист с последовательностью A, второй участник может значительно увеличить свои шансы на успех.
  • Для идеальной монеты вероятности последовательностей A и B одинаковы, поэтому вероятность правильного ответа составляет 1/2.

Бросок монеты и закон Бернулли[править | править код]

Бросок монеты является испытанием Бернулли. Закон больших чисел в форме Бернулли гласит, что при большом числе испытаний частота появления события практически не отличается от вероятности события[2]. Так как вероятность получить орла равна 1/2, то отношение числа выпадений монеты к общему числу бросков монеты приближённо равно 1/2 (с вероятностью, близкой к 1). Однако, это не значит, что не может быть нескольких выпадений решки подряд. При можно ожидать серию в 6-7 решек подряд, а при может выпасть 9-10 решек подряд. Этот факт позволяет говорить о неслучайности последовательности, составленной из двух символов, если в ней отсутствуют длинные серии.

Разрешение парадокса[править | править код]

Вероятности получения любой последовательности — последовательности A, B, последовательности, состоящей из одних нулей, совпадают и равны .

Если участник пытается угадать последовательность, его шансы выбрать правильную последовательность равны .

Если же участник пытается оценить возможность того, что одна из последовательностей является результатом подбрасывания идеальной монеты, он по сути решает задачу проверки статистической гипотезы о принадлежности выборки заданному распределению вероятностей. В данном случае, крайне маловероятно, что последовательность В является результатом подбрасывания идеальной монеты, и гипотеза отвергается. Поэтому участнику следует выбрать последовательность А.

Замечание[править | править код]

Следует отметить, что равновероятность всех последовательностей не означает, что вероятность того, что орёл выпадет раз, не зависит от . Например, случаю, когда орёл выпадет ровно 50 раз, отвечает только одна последовательность

11111111111111111111111111111111111111111111111111,

а случаю, когда орёл выпадет ровно 49 раз — 50 последовательностей:

01111111111111111111111111111111111111111111111111,
10111111111111111111111111111111111111111111111111,
11011111111111111111111111111111111111111111111111,
...

Поэтому, согласно теореме сложения вероятностей, вероятность того, что орёл выпадет 49 раз, в 50 раз больше вероятности, что он выпадет 50 раз. Больше всего вероятность, что он выпадет 25 раз.

См. также[править | править код]

Примечания[править | править код]

  1. Е. С. Вентцель, Теория вероятностей. М.: Наука, 1969.
  2. Маталыцкий М. А., Хацкевич Г. А. Теория вероятностей, математическая статистика и случайные процессы. — Минск: Вышэйшая школа, 2012. — 720 с.

Литература[править | править код]

  • Габор Секей. Парадоксы в теории вероятностей и математической статистике (рус.). — М.: Мир, 1990.