Параллелограмм

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
Параллелограмм

Параллелогра́мм (др.-греч. παραλληλόγραμμον от παράλληλος — параллельный и γραμμή — линия) — это четырёхугольник, у которого противоположные стороны параллельны, то есть лежат на параллельных прямых. Частными случаями параллелограмма являются прямоугольник, квадрат и ромб.

Свойства[править | править вики-текст]

  • Противоположные стороны параллелограмма равны.
  • Противоположные углы параллелограмма равны.
  • Сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна 180° (по свойству параллельных прямых).
  • Диагонали параллелограмма пересекаются, и точка пересечения делит их пополам:
    \left|AO\right| = \left|OC\right|, \left|BO\right| = \left|OD\right|.
  • Точка пересечения диагоналей является центром симметрии параллелограмма.
  • Параллелограмм диагональю делится на два равновеликих треугольника.
  • Тождество параллелограмма: сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна удвоенной сумме квадратов его двух смежных сторон: пусть а — длина стороны AB, b — длина стороны BC,  d_1 и d_2  — длины диагоналей; тогда
    d_1^2+d_2^2 = 2(a^2 + b^2).
Тождество параллелограмма есть простое следствие формулы Эйлера для произвольного четырехугольника: учетверённый квадрат расстояния между серединами диагоналей равен сумме квадратов сторон четырёхугольника минус сумма квадратов его диагоналей. У параллелограмма противоположные стороны равны, а расстояние между серединами диагоналей равно нулю.
  • Аффинное преобразование всегда переводит параллелограмм в параллелограмм. Для любого параллелограмма существует аффинное преобразование, которое отображает его в квадрат.

Для векторных пространств с действительными скалярными координатами[править | править вики-текст]

Если V векторное пространство действительных векторов, тогда скалярное произведение определяется поляризационным тождеством

\langle x, \ y \rangle = \frac{1}{4} \left(\|x + y \|^2 - \|x-y\|^2 \right)\  \forall \ x,y \in V \ .

Для векторных пространств с комплексными скалярными координатами[править | править вики-текст]

Если V векторное пространство комплексных векторов, тогда скалярное произведение определяется поляризационным тождеством:

\langle x, \ y \rangle = \frac{1}{4} \left(\|x + y \|^2 - \|x-y\|^2 + i\|x+iy\|^2 - i\|x-iy\|^2\right) \ \forall\ x,y \in V ;

где i мнимая единица. Заметим, что так определяется скалярное произведение, который является линейным по его первому аргументу и полулинейным по второму аргументу. Чтобы устранить противоречивость определения, нужно взять комплексное сопряжение.

Признаки параллелограмма[править | править вики-текст]

Четырёхугольник ABCD является параллелограммом, если выполняется одно из следующих условий (в этом случае выполняются и все остальные):

  1. У четырёхугольника без самопересечений две противоположные стороны одновременно равны и параллельны: AB = CD, AB \parallel CD.
  2. Все противоположные углы попарно равны: \angle A = \angle C, \angle B = \angle D.
  3. У четырёхугольника без самопересечений все противоположные стороны попарно равны: AB = CD, BC=DA.
  4. Все противоположные стороны попарно параллельны:  AB \parallel CD,  BC \parallel DA.
  5. Диагонали делятся в точке их пересечения пополам: ~AO = OC, BO = OD.
  6. Сумма соседних углов равна 180 градусов: \angle A + \angle B = 180^\circ, \angle B + \angle C = 180^\circ, \angle C + \angle D = 180^\circ, \angle D + \angle A = 180^\circ.
  7. Сумма расстояний между серединами противоположных сторон выпуклого четырехугольника равна его полупериметру.
  8. Сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов сторон выпуклого четырёхугольника: ~AC^2+BD^2 = AB^2+BC^2+CD^2+DA^2.

Площадь параллелограмма[править | править вики-текст]

Здесь приведены формулы, свойственные именно параллелограмму. См. также формулы для площади произвольных четырёхугольников.

Площадь параллелограмма равна произведению его основания на высоту:

S = ah , где a — сторона, h — высота, проведенная к этой стороне.

Площадь параллелограмма равна произведению его сторон на синус угла между ними:

S = ab\sin \alpha, где a и b — стороны, а \alpha — угол между сторонами a и b.

См. также[править | править вики-текст]

Примечания[править | править вики-текст]