Параллельное перенесение

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
Параллельное перенесение вектора по замкнутому контуру на сфере. Угол пропорционален площади внутри контура.

Параллельное перенесениеизоморфизм слоёв над концами кусочно гладкой кривой базы гладкого расслоения , определяемый некоторой заданной связностью на . В частности, линейный изоморфизм касательных пространств и , определяемый вдоль кривой некоторой заданной на аффинной связностью.

Параллельное перенесение по аффинной связности[править | править вики-текст]

Пусть на гладком многообразии задана аффинная связность. Говорят, что вектор получен параллельным перенесением из вектора вдоль не имеющей самопересечений гладкой кривой , если в окрестности этой кривой существует гладкое векторное поле со следующими свойствами:

  • выполняются равенства и ;
  • для любого значения выполняется равенство , где символ обозначает ковариантную производную, а есть вектор скорости .

Замечание. Так как в локальных координатах справедливо равенство:

,

и в этом выражении нет частных производных от компонент вектора , в определении параллельного перенесения не обязательно требовать, чтобы векторное поле было определено в целой окрестности пути , достаточно, чтобы оно существовало и было гладким вдоль одного только этого пути.

Параллельный перенос вдоль кусочно гладкой кривой (включая кривые с самопересечениями) определяется как суперпозиция параллельных переносов вдоль её не имеющих самопересечений гладких кусков.

На основе понятия параллельного переноса вектора определяются понятия параллельного переноса тензора произвольной валентности.

Свойства параллельного перенесения векторов[править | править вики-текст]

  • Согласно теории обыкновенных дифференциальных уравнений, решение задачи Коши произвольного линейного ОДУ продолжается неограниченно вдоль любой гладкой кривой, поэтому задавая вектор в начальной точке и указывая путь параллельного перенесения, этот вектор однозначно переносится в любую точку этого пути.
  • При перенесении векторов вдоль одного и того же пути сохраняются все линейные соотношения между ними.
  • Перенесение векторов обратимо: достаточно конечные вектора перенести вдоль обратного пути, чтобы получились исходные вектора.
  • Как следствие двух предыдущих свойств получается, что оператор параллельного переноса вдоль кривой представляет собой линейный изоморфизм пространств и .
  • Если аффинная связность согласована с метрическим тензором на римановом многообразии (связность Леви-Чивиты), тогда оператор параллельного перенесения является ортогональным, то есть сохраняет скалярные произведения векторов, их длины и углы между ними.
  • Важным свойством параллельного перенесения является также независимость результата перенесения от параметризации пути (эквивалентные пути дадут одинаковый результат). В то же время параллельное перенесение вдоль различных кривых обычно приводит к различным результатам.

Связанные определения[править | править вики-текст]

  • Геодезическая — гладкий путь, у которого касательный вектор в каждой точке получается параллельным перенесением касательного вектора из любой другой точки.
  • Группа голономии — группа автоморфизмов касательного пространства , определяемая параллельными переносом вдоль замкнутых кусочно гладких кривых. При этом, для связного многообразия и всегда сопряжены между собой.

История[править | править вики-текст]

Развитие понятия параллельного переноса началось с обычного параллелизма на евклидовой плоскости, для которой Миндинг в 1837 указал возможность обобщить её на случай поверхности в с помощью введенного им понятия развертывания кривой на плоскость . Это указание Миндинга послужило отправным пунктом для Леви-Чивиты, который, оформляя аналитически параллельный перенос касательного вектора на поверхности, обнаружил зависимость его только от метрики поверхности и на этой основе обобщил его сразу на случай -мерного риманова пространства (см. Связность Леви-Чивиты). Дальнейшие обобщения этого понятия связаны с развитием общей теории связностей.

Литература[править | править вики-текст]

  • Рашевский П. К. Риманова геометрия и тензорный анализ. — Любое издание.
  • Кобаяси Ш., Номидзу К. Основы дифференциальной геометрии. — Новокузнецкий физико-математический институт. — Т. 1. — 344 с. — ISBN 5-80323-180-0.