Параллельные прямые

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
(перенаправлено с «Параллельность»)
Перейти к навигации Перейти к поиску

Параллельные прямые (от греч. παράλληλος, буквально — идущий рядом) — в планиметрии прямые, которые не пересекаются, сколько бы их не продолжали в обе стороны.

В евклидовой геометрии[править | править код]

На чертежах параллельные линии выделяются одинаково направленными стрелками.

В евклидовой геометрии параллельными прямыми называются прямые, которые лежат в одной плоскости и не пересекаются[1]. В другом варианте определения совпадающие прямые также считаются параллельными[2][3]. Преимущество последнего определения состоит в том, что параллельность становится отношением эквивалентности[4].

Параллельность прямых и обычно обозначается:

Свойства[править | править код]

  • Через любую точку, не лежащую на прямой, можно провести прямую, параллельную данной, и притом только одну. Последняя часть этого утверждения — знаменитый пятый постулат Евклида. Отказ от пятого постулата ведёт к геометрии Лобачевского (см. ниже).
  • Если прямая пересекает одну из параллельных прямых, то она пересекает и другую (такая прямая называется секущей). При этом образуется 8 углов, некоторые характерные пары которых имеют особые названия и свойства:
    • Соответственные углы равны (Рис.1).
    • Накрест лежащие углы равны (Рис.2).
    • Внутренние односторонние углы в сумме составляют 180° (Рис.3).
Paralelni transverzala cor.svg Paralelni transverzala alt.svg Transverzala parallel.svg
Рис.1: Соответственные углы равны, . Рис.2: Внутренние накрест лежащие углы равны, . Рис.3: Односторонние углы являются дополнительными, .
  • Если считать совпадающие прямые параллельными, то параллельность будет бинарным отношением эквивалентности, которое разбивает всё множество прямых на классы параллельных между собой прямых.
  • Множество точек плоскости, расположенных на некотором фиксированном расстоянии от данной прямой, по одну сторону от неё, есть прямая, параллельная данной.

В стереометрии[править | править код]

В планиметрии две различные прямые либо пересекаются, либо параллельны. В стереометрии возможен третий вариант — прямые могут не пересекаться, так как не лежат в одной плоскости. Такие прямые называются скрещивающимися.

В геометрии Лобачевского[править | править код]

Параллельные прямые в модели Пуанкаре: две зелёные прямые равнобежны (асимптотически параллельны) синей прямой, а фиолетовая ультрапараллельна к ней

В геометрии Лобачевского в плоскости через точку вне данной прямой проходит бесконечное множество прямых, не пересекающих . Прямая называется равнобежной прямой в направлении от к , если:

  1. точки и лежат по одну сторону от прямой ;
  2. прямая не пересекает прямую , но всякий луч, проходящий внутри угла , пересекает луч .

Аналогично определяется прямая, равнобежная в направлении от к .

Равнобежные прямые называются также асимптотически параллельными или просто параллельными. Все остальные прямые, не пересекающие данную, называются ультрапараллельными или расходящимися[5].

Свойства[править | править код]

Расходящиеся параллельные прямые имеют единственный общий перпендикуляр. Этот перпендикуляр соединяет ближайшую пару точек на этих прямых.

Несмотря на то, что асимптотически параллельные прямые не пересекаются, на любой паре асимптотически параллельных прямых можно выбрать произвольно близкие точки.

См. также[править | править код]

Примечания[править | править код]

  1. Параллельные прямые // Большая советская энциклопедия : [в 30 т.] / гл. ред. А. М. Прохоров. — 3-е изд. — М. : Советская энциклопедия, 1969—1978.
  2. Земляков А. Н. Аксиоматический подход к геометрии (тезисы) // Математическое образование. — 2001. — № 3(18). — С. 4-21.
  3. Адамар Ж. Элементарная геометрия. — М., 1948. — С. 52.
  4. Шиханович Ю. А. Введение в современную математику (Начальные понятия). — М.: Наука, 1965. — С. 259. — 376 с.
  5. Математический справочник