Параллельность

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Параллельность — отношение между прямыми.

Определяется немного по-разному в различных разделах геометрии.

В евклидовой геометрии[править | править вики-текст]

В евклидовой геометрии параллельными прямыми называются прямые, которые лежат в одной плоскости и либо совпадают, либо не пересекаются. (Иногда совпадающие прямые не считаются параллельными, в данной статье такое определение не рассматривается).

Параллельность прямых m и n обычно обозначается m\parallel n.

Paralelni transverzala cor.svg     Paralelni transverzala alt.svg Transverzala parallel.svg
Одна пара равных соответственных углов при параллельных прямых.   Одна пара равных внутренних накрест лежащих углов углов при параллельных прямых. Внутренние не накрест лежащие углы являются дополнительными (в сумме дающими 180 градусов).

Свойства[править | править вики-текст]

  1. Параллельность — бинарное отношение эквивалентности, поэтому разбивает всё множество прямых на классы параллельных между собой прямых.
  2. Через любую точку можно провести ровно одну прямую, параллельную данной. Это отличительное свойство евклидовой геометрии, в других геометриях число 1 заменено другими (в геометрии Лобачевского таких прямых бесконечно много, они образуют пучок прямых, ограниченный двумя крайними).
  3. 2 параллельные прямые в пространстве лежат в одной плоскости.
  4. При пересечении 2 параллельных прямых третьей, называемой секущей:
    1. Секущая обязательно пересекает обе прямые.
    2. При пересечении образуется 8 углов, некоторые характерные пары которых имеют особые названия и свойства:
      1. Накрест лежащие углы равны (см. рис.).
      2. Соответственные углы равны (см. рис.).
      3. Односторонние углы в сумме составляют 180° (точнее, внутренние не накрест лежащие углы[1], см. рис.).

В геометрии Лобачевского[править | править вики-текст]

Параллельные прямые в модели Пуанкаре: две зелёные прямые параллельны синей прямой, а фиолетовая ультрапараллельна к ней

В геометрии Лобачевского в плоскости через точку C вне данной прямой AB проходит бесконечное множество прямых, не пересекающих AB. Прямая CE называется равнобежной прямой AB в направлении от A к B, если:

  1. точки B и E лежат по одну сторону от прямой AC;
  2. прямая CE не пересекает прямую AB, но всякий луч, проходящий внутри угла ACE, пересекает луч AB.

Аналогично определяется прямая, равнобежная AB в направлении от B к A.

Равнобежные прямые называются также асимптотически параллельными или просто параллельными. Все остальные прямые, не пересекающие данную, называются ультрапараллельными или расходящимися[источник не указан 2512 дней].

См. также[править | править вики-текст]

Примечания[править | править вики-текст]

  1. Consecutive Interior Angles (внутренние не накрест лежащие углы)

Ссылки[править | править вики-текст]