Параметризация Фейнмана

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску

Параметризация Фейнмана — это метод вычисления интегралов по четырёхмерному пространству[1], возникающих при расчёте по диаграммам Фейнмана радиационных поправок (высших порядков теории возмущений) к различным процессам. Его сутью является сведение множителей в знаменателе под одну степень, а затем, пользуясь независимостью в порядке интегрирования, применение уже известного вычисленного интеграла по четырёхмерному пространству[2][3]. Получившиеся независимые переменные, по которым производится интегрирование (по одномерному пространству), называются параметрами Фейнмана.

Ричард Фейнман заметил, что:

причём формула действительна для любых комплексных чисел A и B, если 0 не содержится в отрезке прямой, соединяющем A и B. Формула помогает вычислить интегралы, такие как:

Если A (p) и B (p) — линейные функции от p, то последний интеграл можно вычислить с помощью подстановки.

В более общем смысле, используя дельта-функцию Дирака :[4]

Эта формула действительна для любых комплексных чисел A1,. , ., An, если 0 не содержится в их выпуклой оболочке.

Даже в более общем плане, при условии, что для всех  :

где  — гамма-функция.[5]

Теперь просто линейно преобразовать интеграл с помощью подстановки,

,
что приводит к ,
откуда

и мы получаем искомый результат:

В более общих случаях вывод может быть выполнен очень эффективно с использованием параметризации Швингера. Например, чтобы вывести параметризованную форму Фейнмана Сначала мы повторно выражаем все факторы в знаменателе в их параметризованной форме Швингера:

и записываем

Затем мы выполняем следующее изменение переменных интегрирования,

чтобы получить,

где обозначает интеграцию по площади с ,

Следующим шагом является выполнение интегрирования по .

где мы определили

Подставляя этот результат, мы получаем предпоследнюю форму,

и после введения дополнительного интеграла мы приходим к окончательному виду параметризации Фейнмана, а именно:

Точно так же, чтобы вывести форму параметризации Фейнмана из наиболее общего случая, : можно начать с подходящей другой формы параметризации Швингера в знаменателе, а именно:

и затем действовать точно в соответствии с предыдущим случаем.

Альтернативная форма

[править | править код]

Альтернативная форма параметризации, которая иногда полезна,

Эта форма может быть получена с помощью замены переменных , Мы можем использовать правило произведения, чтобы показать, что , затем

В более общем случае мы имеем

где  — гамма-функция .

Эта форма может быть полезна при объединении линейного знаменателя с квадратичным знаменателем , например, в эффективной теории тяжелых кварков (HQET).

Симметричная форма

[править | править код]

Иногда используется симметричная форма параметризации, где вместо этого выполняется интеграл на интервале , что приводит к:

Примечания

[править | править код]
  1. В общем случае по многомерному.
  2. R. Feynman. Space-time approach to quantum electrodynamics (англ.) // Phys. Rev. — 1949. — Vol. 76, no. 6. — P. 769—789.
  3. А. И. Ахиезер, В. Б. Берестецкий. Квантовая электродинамика. — М.: Гостехиздат, 1953. — С. 424. — 428 с.
    А. И. Ахиезер, В. Б. Берестецкий. Квантовая электродинамика. — 4-е изд. — М.: Наука, 1981. — С. 420. — 432 с.
  4. . — ISBN 978-0-521-67053-1.
  5. Kristjan Kannike. Notes on Feynman Parametrization and the Dirac Delta Function. Дата обращения: 24 июля 2011. Архивировано 29 июля 2007 года.