Эта статья входит в число добротных статей

Параметризованный постньютоновский формализм

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
 Просмотр этого шаблона  Общая теория относительности
Гравитация
Математическая формулировка
Космология
См. также: Портал:Физика

Параметризо́ванный постнью́тоновский формали́зм (ППН формали́зм) — это версия постньютоновского формализма, применимая не только к общей теории относительности, но и к другим метрическим теориям гравитации, когда движения тел удовлетворяют принципу эквивалентности Эйнштейна. В таком подходе явно выписываются все возможные зависимости гравитационного поля от распределения материи вплоть до соответствующего порядка обратного квадрата скорости света (точнее, скорости гравитации, при этом обычно ограничиваются первым порядком) и составляется наиболее общее выражение для решения уравнений гравитационного поля и движения материи. Различные теории гравитации при этом предсказывают различные значения коэффициентов — так называемых ППН параметров — в общих выражениях. Это приводит к потенциально наблюдаемым эффектам, экспериментальные ограничения на величину которых приводят к ограничениям на ППН параметры, и соответственно — к ограничениям на теории гравитации, их предсказывающие. Можно сказать, что ППН параметры описывают различия между ньютоновой и описываемой теорией гравитации. ППН формализм применим когда гравитационные поля слабы, а скорости движения формирующих их тел малы по сравнению со скоростью света (точнее, скоростью гравитации) — каноническими примерами применения являются движение Солнечной системы и систем двойных пульсаров.[1][2]

История[править | править вики-текст]

Первая параметризация постньютоновского приближения принадлежит перу Эддингтона (Eddington, 1922[3]). В ней рассматривалось, впрочем, только гравитационное поле в вакууме вокруг сферически-симметричного статического тела[4]. Нордтведт[en] (Nordtvedt, 1968[5], 1969[6]) расширил формализм до 7 параметров, а Уилл[en] (Will, 1971[7]) ввёл в него описание небесных тел как протяжённых распределений тензора энергии-импульса[4].

Версии формализма, применяющиеся чаще всего и описанные ниже, базируются на работах Ни[en] (Ni, 1972[8]), Уилла и Нордтведта (Will & Nordtvedt, 1972[9]), Мизнера, Торна и Уилера Гравитация[10], и Уилла[1][2], и имеют 10 параметров.

Бета-дельта вариант (Beta-delta notation)[править | править вики-текст]

Десять постньютоновских параметров (ППН параметров) полностью характеризуют поведение подавляющего большинства метрических теорий гравитации в пределе слабого поля[11]. ППН формализм показал себя ценным инструментом для проверки общей теории относительности[12]. В обозначениях Уилла (Will, 1971[7]), Ни (Ni, 1972[8]) и Мизнера, Торна и Уилера (Misner et al., 1973[10]) ППН параметры имеют условно следующее значение[13]:

Насколько сильная пространственная кривизна в генерируется единицей массы покоя?
Насколько велика нелинейность в при сложении гравитационных полей?
Как много тяготения в производится единицей кинетической энергии ?
Как много тяготения в производится единицей гравитационной потенциальной энергии ?
Как много тяготения в производится единицей внутренней энергии тела ?
Как много тяготения в производится единицей давления ?
Разница между проявлением радиальной и трансверсальной кинетической энергией в тяготении в
Разница между проявлением радиальных и трансверсальных напряжений в тяготении в
Как много увлечения инерциальных систем отсчёта в производится единицей импульса ?
Разница между степенью увлечения инерциальных систем отсчёта в радиальном и трансверсальном направлении

— симметричный метрический тензор 4 на 4, а пространственные индексы и пробегают значения от 1 до 3.

В теории Эйнштейна эти параметры соответствуют тому, что (1) для малых скоростей движения тел и их масс восстанавливается ньютоново тяготение, (2) выполняются законы сохранения энергии, массы, импульса и момента импульса, и (3) уравнения теории не зависят от системы отсчёта. В таких обозначениях общая теория относительности имеет ППН параметры

и [13].

Альфа-дзета вариант (Alpha-zeta notation)[править | править вики-текст]

В более современной версии (Will & Nordtvedt, 1972[9]), используемой также в работах Уилла (1981[2], 2014[1]), применяется другой эквивалентный набор из 10 ППН параметров.

,
,
,
,
,
,
,
,
,
получается из .

Смысл параметров , и при этом — степень проявления эффектов предпочтительной системы отсчёта (эфира)[14]. , , , и измеряют степень нарушения законов сохранения энергии, импульса и момента импульса[15].

В этих обозначениях ППН параметры ОТО есть

и [16].

Вид метрики альфа-дзета варианта:

,

где по повторяющимся индексам предполагается суммирование, определяется как максимальное в системе значение ньютонова потенциала , квадрата скорости материи или подобных величин (они все имеют один порядок величины), — скорость ППН координатной системы относительно выделенной системы покоя, — квадрат этой скорости, а если и в противоположном случае — символ Кронекера[17].

Есть только десять простых метрических потенциалов: , , , , , , , , и [18], столько же, как и ППН параметров, что гарантирует единственность ППН решения для каждой теории гравитации[17]. Форма этих потенциалов напоминает гравитационный потенциал ньютоновской теории — они равны определённым интегралам по распределению материи, например[18],

Полный список определений метрических потенциалов см. в работах Мизнера, Торна, Уилера (Misner et al., 1973[19]), Уилла (1981[18], 2014[20]) и др.

Процедура получения ППН параметров из теории гравитации[править | править вики-текст]

Примеры анализа можно найти в книге Уилла, 1981[2]. Процесс состоит из девяти стадий[21]:

  • Шаг 1: Определение переменных: (a) динамические гравитационные переменные, такие как метрика , гравитационное скалярное , векторное и/или тензорное поле и т. п.; (b) переменные предпочтительной геометрии, такие как плоская фоновая метрика , космологическое время и т. п.; (c) переменные материальных (негравитационных) полей.
  • Шаг 2: Установление космологических граничных условий: предполагая вселенную Фридмана (однородную и изотропную), вводим изотропные координаты в системе покоя Вселенной (полное космологическое решение для этого нужно не всегда). Полученные фоновые космологические поля называем , , , .
  • Шаг 3: Вводим новые переменные , а если необходимо, то и , , .
  • Шаг 4: Подставляем полученные выражения и тензор энергии-импульса материи (обычно идеальной жидкости) в уравнения гравитационного поля и отбрасываем члены слишком высокого порядка для и прочих динамических гравитационных переменных.
  • Шаг 5: Решаем уравнения для с точностью до . Предполагая эту величину стремящейся к нулю вдали от системы, получаем форму , где — гравитационный потенциал Ньютона, а может быть сложной функцией, включающей гравитационную "постоянную" . Ньютонова метрика имеет форму , , . Переходим к единицам, в которых гравитационная "постоянная", измеренная сейчас вдали от гравитирующей материи, равна единице .
  • Шаг 6: Из линеаризованной версии полевых уравнений получаем с точностью до и с точностью до .
  • Шаг 7: Находим с точностью до . Это самый сложный этап, так как уравнения тут становятся нелинейными. Тензор энергии-импульса также нужно разложить до нужного порядка.
  • Шаг 8: Переходим в стандартную ППН калибровку.
  • Шаг 9: Сравнивая результирующую метрику с известным ППН выражением, определяем ППН параметры теории.

Сравнение теорий гравитации[править | править вики-текст]

Основной источник: Уилл (1981[2], 2014[22])

Таблица, представляющая ППН параметры 23 теорий гравитации, находится в статье «Альтернативные теории гравитации».

Большинство метрических теорий можно разделить по нескольким категориям. Скалярные теории гравитации включают конформно-плоские теории и стратифицированные теории с пространственными сечениями, строго ортогональными временному направлению.

В конформно-плоских теориях, например, теориях Нордстрёма, метрика равна и поэтому , что абсолютно несовместимо с наблюдениями. В стратифицированных теориях, например, теории Йилмаза[en], метрика равна и, следовательно, , что опять-таки противоречит наблюдениям.

Другой класс теорий — квазилинейные теории типа теории Уайтхэда. Для них . Так как относительные амплитуды гармоник земных приливов зависят от и , то их измерения позволяют отклонить все подобные теории, исключая такое большое значение .

Ещё один класс теорий — биметрические теории. Для них не равно 0. Из данных по прецессии оси вращения миллисекундных пульсаров мы знаем, что , и это эффективно отклоняет биметрические теории.

Далее идут скалярно-тензорные теории, например, теория Бранса — Дике. Для таких теорий в первом приближении . Предел даёт очень малое , которое характеризует степень «скалярности» гравитационного взаимодействия, а по мере уточнения экспериментальных данных предел на всё продолжает увеличиваться, так что такие теории становятся всё менее вероятными.

Последний класс теорий — векторно-тензорные теории. Для них гравитационная «постоянная» изменяется со временем и не равно 0. Лазерная локация Луны сильно ограничивает вариацию гравитационной «постоянной» и , так что эти теории также не выглядят надёжными.

Некоторые метрические теории не попадают в выделенные категории, но имеют подобные проблемы.

Экспериментальные ограничения на ППН параметры[править | править вики-текст]

Значения взяты из обзора Уилла, 2014[23]

Параметр Границы Эффекты Эксперимент
Эффект Шапиро, Гравитационное отклонение света Траектория «Кассини — Гюйгенса»
Эффект Нордтведта, Сдвиг перигелия Лазерная локация Луны, движения планет в Солнечной системе
Прецессия оси вращения Миллисекундные пульсары
Сдвиг плоскости орбиты Лазерная локация Луны, пульсар J1738+0333
Прецессия оси вращения Миллисекундные пульсары
Самоускорение Статистика замедления пульсаров
- Комбинированный предел разных экспериментов
Ускорение двойных пульсаров PSR 1913+16
Третий закон Ньютона Ускорение Луны
- Не является независимым

‡ По из работ Уилла (1976[24], 2014[1]). Теоретически в некоторых теориях гравитации возможен обход этого ограничения, тогда применим более слабый предел из статьи Ни (1972[8]).

Примечания[править | править вики-текст]

  1. 1 2 3 4 Will, 2014.
  2. 1 2 3 4 5 Уилл, 1985.
  3. Эддингтон, 1934.
  4. 1 2 МТУ, 1977, Том 3, с. 315.
  5. Nordtvedt, 1968.
  6. Nordtvedt, 1969.
  7. 1 2 Will, 1971.
  8. 1 2 3 Ni, 1972.
  9. 1 2 Will & Nordtvedt, 1972.
  10. 1 2 МТУ, 1977.
  11. МТУ, 1977, Том 3, с. 313.
  12. МТУ, 1977, Том 3, с. 314.
  13. 1 2 МТУ, 1977, Том 3, с. 317—318.
  14. Уилл, 1985, с. 90—91.
  15. Уилл, 1985, с. 99—100.
  16. Уилл, 1985, 5.2. Общая теория относительности.
  17. 1 2 Уилл, 1985, с. 87.
  18. 1 2 3 Уилл, 1985, 4.1. Постньютоновсий предел. г. Постньютоновские потенциалы..
  19. МТУ, 1977, Том 3. § 39.8. ППН-метрические коэффициенты.
  20. Will, 2014, p. 32—33, Box 2.
  21. Уилл, 1985, 5.1. Метод расчёта..
  22. Will, 2014, 3.3 Competing theories of gravity..
  23. Will, 2014, p. 46.
  24. Will, 1976.

Литература[править | править вики-текст]

Основная
Дополнительная
  • Мизнер, Ч., Торн К., Уилер Дж. Гравитация. В 3-х тт.. — М.: Мир, 1977. — Перевод Misner, C. W., Thorne, K. S. & Wheeler, J. A. Gravitation. — W. H. Freeman and Co., 1973.
  • Эддингтон А. С. Теория относительности. — Л.-М.: ГТТИ, 1934. — Перевод Eddington, A. S. The Mathematical Theory of Relativity. — Cambridge University Press, 1922.
  • Ni W.-T. Theoretical Frameworks for Testing Relativistic Gravity.IV. a Compendium of Metric Theories of Gravity and Their POST Newtonian Limits (англ.) // Astrophysical Journal. — 1972. — Vol. 176. — P. 769. — DOI:10.1086/151677. — Bibcode1972ApJ...176..769N.
  • Nordtvedt K. Equivalence Principle for Massive Bodies. II. Theory (англ.) // Physical Review. — 1968. — Vol. 169. — P. 1017-1025. — DOI:10.1103/PhysRev.169.1017. — Bibcode1968PhRv..169.1017N.
  • Nordtvedt K. Equivalence Principle for Massive Bodies Including Rotational Energy and Radiation Pressure (англ.) // Physical Review. — 1969. — Vol. 180. — P. 1293-1298. — DOI:10.1103/PhysRev.180.1293. — Bibcode1969PhRv..180.1293N.
  • Will C. M. Theoretical Frameworks for Testing Relativistic Gravity. II. Parametrized Post-Newtonian Hydrodynamics, and the Nordtvedt Effect (англ.) // Astrophysical Journal. — 1971. — Vol. 163. — P. 611. — DOI:10.1086/150804. — Bibcode1971ApJ...163..611W.
  • Will C. M. Active mass in relativistic gravity - Theoretical interpretation of the Kreuzer experiment (англ.) // Astrophysical Journal. — 1976. — Vol. 204. — P. 224-234. — DOI:10.1086/154164. — Bibcode1976ApJ...204..224W.
  • Will C. M., Nordtvedt Jr., K. Conservation Laws and Preferred Frames in Relativistic Gravity. I. Preferred-Frame Theories and an Extended PPN Formalism (англ.) // Astrophysical Journal. — 1972. — Vol. 177. — P. 757. — DOI:10.1086/151754. — Bibcode1972ApJ...177..757W.

См. также[править | править вики-текст]

Теории гравитации
Стандартные теории гравитации Альтернативные теории гравитации Квантовые теории гравитации Единые теории поля
Классическая физика

Релятивистская физика

Принципы

Классические

Релятивистские

Многомерные

Струнные

Прочие