Параметрический осциллятор

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Параметрический осциллятор — осциллятор, параметры которого могут изменяться в определённой области.

Параметрический осциллятор принадлежит к классу незамкнутых колебательных систем, в которых внешнее воздействие сводится к изменению во времени её параметров. Изменения параметров, например собственной частоты колебаний ω или коэффициента затухания β приводит к изменению динамики всей системы.

Всем известный пример параметрического осциллятора, это ребенок на качелях, где периодически изменяющаяся высота центра массы означает периодическое изменение момента инерции, что приводит к увеличению амплитуды колебаний качелей [3, с. 157]. Другим примером, механического параметрического осциллятора служит физический маятник, точка подвеса которого совершает заданное периодическое движение в вертикальном направлении или математический маятник, длина нити которого может периодически изменяться.

Широко используемым на практике, примером параметрического осциллятора, может служить, используемый во многих областях, параметрический генератор. Периодическое изменение ёмкости диода, с помощью специальной схемы называемой «насосом», приводит к классическим колебаниям варакторного параметрического генератора. Параметрические генераторы были разработаны в качестве малошумящих усилителей, которые особенно эффективны в радио- и микроволновом диапазоне частот. Поскольку в них периодически изменяются не активные (омические), а реактивные сопротивления, тепловые шумы в таких генераторах минимальны. В СВЧ-электронике, волновод / ИАГ на основе параметрического осциллятора действует таким же образом. Для того, чтобы в системе возбудить параметрические колебания, конструкторы периодически изменяют параметр системы. Ещё одним классом приборов, часто использующих метод параметрических колебаний, являются преобразователи частоты, в частности, преобразователи от аудио к радиочастотам. Например, оптический параметрический генератор преобразует входную волну лазера в две выходные волны более низкой частоты (ωs, ωi). С параметрическим осциллятором тесно связано понятие параметрического резонанса.

Параметрический резонанс — это увеличение амплитуды колебаний в результате параметрического возбуждения. Параметрическое возбуждение отличается от классического резонанса, поскольку создаётся в результате временного изменения параметров системы и связано с её стабильностью и устойчивостью.

Математика[править | править вики-текст]

Параметрами одномерного осциллятора, движущегося с трением, являются его масса m, коэффициент упругости k и коэффициент затухания \beta. Если эти коэффициенты зависят от времени, и m=m(t), k=k(t), \beta=\beta(t), то уравнение движения имеет вид

\frac{d}{d t}(m\dot x) + \beta \dot x +kx = 0,

(1)

Сделаем замену переменной времени t\tau, где d\tau=dt/m(t), что приводит уравнение (1) к виду


\frac{d^2x }{d \tau^2} + \beta\frac{d x }{d \tau} + kmx = 0,

(2)

Сделаем еще одну замену x(\tau)q(\tau):


q(\tau)=\exp^{B(\tau)}x(\tau),  B(\tau)=\frac{1}{2}\int_{0}^{\tau}\beta(\xi )d\xi,

(3)

Это позволит избавиться от члена, связанного с затуханием:


\frac{d^2 q}{d \tau^2}+\delta^2(\tau)q=0 , \delta^2(\tau)=km-\frac{\dot\beta}{2}-\frac{\beta^2}{4},

(4)

Поэтому фактически, без всякого ограничения общности, вместо уравнения (1) достаточно рассмотреть уравнение движения вида


\frac{d^2x }{d t^2}+\omega ^2(t)x=0,

(5)

которое получилось бы из уравнения (1) при m=const.

Интересно, что в отличие от случая постоянной частоты \omega ^2(t)=\omega ^2_{0}, аналитическое решение уравнения (5) в общем виде неизвестно. В частном случае периодической зависимости \omega (t) уравнение (5) является уравнением Хилла, а в случае гармонической зависимости \omega (t) — частным случаем уравнения Матье. Наиболее хорошо уравнение (5) изучено в случае, когда частота колебаний гармонически изменяется относительно некоторого постоянного значения.


1. Рассмотрим случай, когда \omega^2 (t)=\omega ^2_{0}[1+h\cos (\omega _{0}+\varepsilon )t], то есть уравнение (5) имеет вид


\frac{d^2x }{d t^2}+\omega^2_{0}[1+h\cos (\omega_{0}+\varepsilon )t]x=0,

(6)

Где \omega_{0} — частота собственных гармонических колебаний, амплитуда гармонических вариаций частоты h \ll 1, постоянная \varepsilon \ll \omega_{0} — небольшая вариация частоты. Надлежащим изменением начала отсчета времени постоянную h можно выбрать положительной, поэтому, не ограничивая общности, будем считать, что h>0. Вместо решения уравнения (6) поставим более скромный вопрос: при каких значения параметра \varepsilon, происходит резкое возрастание амплитуды колебаний, то есть решение x(t) неограниченно возрастает? Можно показать [1], что это происходит в том случае, когда


-\frac{5}{24}< \frac{\varepsilon }{h^2\omega_{0}}<\frac{1}{24},

(7)

2. Рассмотрим случай, когда \omega^2(t)=\omega^2_{0}[1+h\cos(2\omega_{0}+\varepsilon)t] , то есть уравнение (5) имеет вид


\frac{d^2x }{dt^2}+\omega^2_{0}[1+h\cos(2\omega_{0}+\varepsilon )t]x=0,

(8)

Иными словами, гармоническое изменение свободных колебаний происходит с частотой y=2\omega_{0}+\varepsilon. В этом случае параметрический резонанс, с точностью до членов h^2, происходит в случае, когда


-\frac{1}{32}h-\frac{1}{2}<\frac{\varepsilon}{h\omega_{0}}<-\frac{1}{32}h+\frac{1}{2},

(9)

В частности, укажем условия параметрического резонанса для малых колебаний математического маятника с колеблющейся в вертикальном положении точкой подвеса, для которого уравнения колебаний имеют вид


\ddot\phi +\omega^2_{0}[1+\frac{4a}{l}\cos(2\omega_{0}+\varepsilon)t]\phi=0,

(10)

где \omega^2_{0}=\frac{g}{l}, и h=\frac{4a}{l}. В случае, когда a \ll l и ограничиваясь первым порядком разложения по h, получим, что


-\frac{2a\sqrt{g}}{l^\frac{3}{2}}<\varepsilon<\frac{2a\sqrt{g}}{l^\frac{3}{2}},

(11)

Тот факт, что параметрический резонанс происходит в окрестности частоты свободных колебаний \omega=\omega_{0} и её удвоенного значения \omega=2\omega_{0}, — не случаен. Можно показать (см. напр. [2]), что в случае уравнения


\frac{d^2x }{d t^2}+\omega^2_{0}[1+h\cos(\omega t)]x=0,

(12)

Параметрический резонанс имеет место, когда


\omega=\frac{2\omega_{0}}{n}, n=1,2,...,

(13)

Главный резонанс происходит при удвоенной частоте собственных колебаний гармонического маятника \omega_{0}, а ширина резонанса равна h\omega_{0}. Важно также, что при наличии трения (см. ур-е (2)), в уравнении


\frac{d^2x }{d t^2}+3\gamma \frac{d x}{d t}+\omega^2_{0}[1+h\cos(\omega t)]x=0,

(14)

Имеет место явление параметрического резонанса не при любых h \ll 1, а лишь при тех  h>\frac{4\gamma}{\omega^2_{0}-\gamma^2}. Т.о., при наличии трения


\frac{4\gamma}{\omega^2_{0}-\gamma}<h \ll 1,
,

(15)

что позволяет надлежащим выбором параметров \gamma, \omega_{0}, и  h, в зависимости от практической необходимости, усилить или ослабить явление параметрического резонанса.

Ссылки[править | править вики-текст]

  1. Пример параметрической неустойчивости [1]
  1. Броуновский параметрический осциллятор [2]

Литература[править | править вики-текст]

[1] Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц. Курс теоретической физики I. Механика. Москва. Наука. 1973 с. 103—109

[2] А. М. Федорченко. Теоретическая механика. 1975. Киев. Высшая школа. 516 с.

[3] К. Магнус. Колебания: Введение в исследование колебательных систем. 1982. Москва. Мир. 304 с.