Параметрический осциллятор

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Параметрический осциллятор — осциллятор, параметры которого могут изменяться в определённой области.

Параметрический осциллятор принадлежит к классу незамкнутых колебательных систем, в которых внешнее воздействие сводится к изменению во времени её параметров. Изменения параметров, например собственной частоты колебаний ω или коэффициента затухания β приводит к изменению динамики всей системы.

Всем известный пример параметрического осциллятора, это ребенок на качелях, где периодически изменяющаяся высота центра массы означает периодическое изменение момента инерции, что приводит к увеличению амплитуды колебаний качелей [3, с. 157]. Другим примером, механического параметрического осциллятора служит физический маятник, точка подвеса которого совершает заданное периодическое движение в вертикальном направлении или математический маятник, длина нити которого может периодически изменяться.

Широко используемым на практике, примером параметрического осциллятора, может служить, используемый во многих областях, параметрический генератор. Периодическое изменение ёмкости диода, с помощью специальной схемы называемой «насосом», приводит к классическим колебаниям варакторного параметрического генератора. Параметрические генераторы были разработаны в качестве малошумящих усилителей, которые особенно эффективны в радио- и микроволновом диапазоне частот. Поскольку в них периодически изменяются не активные (омические), а реактивные сопротивления, тепловые шумы в таких генераторах минимальны. В СВЧ-электронике, волновод / ИАГ на основе параметрического осциллятора действует таким же образом. Для того, чтобы в системе возбудить параметрические колебания, конструкторы периодически изменяют параметр системы. Ещё одним классом приборов, часто использующих метод параметрических колебаний, являются преобразователи частоты, в частности, преобразователи от аудио к радиочастотам. Например, оптический параметрический генератор преобразует входную волну лазера в две выходные волны более низкой частоты (ωs, ωi). С параметрическим осциллятором тесно связано понятие параметрического резонанса.

Параметрический резонанс — это увеличение амплитуды колебаний в результате параметрического возбуждения. Параметрическое возбуждение отличается от классического резонанса, поскольку создаётся в результате временного изменения параметров системы и связано с её стабильностью и устойчивостью.

Математика[править | править вики-текст]

Параметрами одномерного осциллятора, движущегося с трением, являются его масса , коэффициент упругости и коэффициент затухания . Если эти коэффициенты зависят от времени, и , то уравнение движения имеет вид

Сделаем замену переменной времени , где , что приводит уравнение (1) к виду

Сделаем еще одну замену :

Это позволит избавиться от члена, связанного с затуханием:

Поэтому фактически, без всякого ограничения общности, вместо уравнения (1) достаточно рассмотреть уравнение движения вида

которое получилось бы из уравнения (1) при .

Интересно, что в отличие от случая постоянной частоты , аналитическое решение уравнения (5) в общем виде неизвестно. В частном случае периодической зависимости уравнение (5) является уравнением Хилла, а в случае гармонической зависимости  — частным случаем уравнения Матье. Наиболее хорошо уравнение (5) изучено в случае, когда частота колебаний гармонически изменяется относительно некоторого постоянного значения.


1. Рассмотрим случай, когда , то есть уравнение (5) имеет вид

Где  — частота собственных гармонических колебаний, амплитуда гармонических вариаций частоты , постоянная  — небольшая вариация частоты. Надлежащим изменением начала отсчета времени постоянную h можно выбрать положительной, поэтому, не ограничивая общности, будем считать, что . Вместо решения уравнения (6) поставим более скромный вопрос: при каких значения параметра , происходит резкое возрастание амплитуды колебаний, то есть решение неограниченно возрастает? Можно показать [1], что это происходит в том случае, когда

2. Рассмотрим случай, когда , то есть уравнение (5) имеет вид

Иными словами, гармоническое изменение свободных колебаний происходит с частотой . В этом случае параметрический резонанс, с точностью до членов , происходит в случае, когда

В частности, укажем условия параметрического резонанса для малых колебаний математического маятника с колеблющейся в вертикальном положении точкой подвеса, для которого уравнения колебаний имеют вид

где , и . В случае, когда и ограничиваясь первым порядком разложения по , получим, что

Тот факт, что параметрический резонанс происходит в окрестности частоты свободных колебаний и её удвоенного значения , — не случаен. Можно показать (см. напр. [2]), что в случае уравнения

Параметрический резонанс имеет место, когда

Главный резонанс происходит при удвоенной частоте собственных колебаний гармонического маятника , а ширина резонанса равна . Важно также, что при наличии трения (см. ур-е (2)), в уравнении

Имеет место явление параметрического резонанса не при любых , а лишь при тех . Т.о., при наличии трения

,

что позволяет надлежащим выбором параметров ,, и , в зависимости от практической необходимости, усилить или ослабить явление параметрического резонанса.

Ссылки[править | править вики-текст]

  1. Пример параметрической неустойчивости [1]
  1. Броуновский параметрический осциллятор [2]

Литература[править | править вики-текст]

[1] Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц. Курс теоретической физики I. Механика. Москва. Наука. 1973 с. 103—109

[2] А. М. Федорченко. Теоретическая механика. 1975. Киев. Высшая школа. 516 с.

[3] К. Магнус. Колебания: Введение в исследование колебательных систем. 1982. Москва. Мир. 304 с.