Пентагональный гексеконтаэдр
Пентагональный гексеконтаэдр | |||
---|---|---|---|
| |||
| |||
Тип | каталаново тело | ||
Свойства | выпуклый, изоэдральный, хиральный | ||
Комбинаторика | |||
Элементы |
|
||
Грани |
неправильные пятиугольники: |
||
Конфигурация вершины |
20+60(53) 12(55) |
||
Конфигурация грани | V3.3.3.3.5 | ||
Двойственный многогранник | курносый додекаэдр | ||
Классификация | |||
Обозначения | gD | ||
Группа симметрии | I (хиральная икосаэдрическая) | ||
Медиафайлы на Викискладе |
Пентагона́льный гексеконта́эдр (от др.-греч. πέντε — «пять», γωνία — «угол», ἑξήκοντα — «шестьдесят» и ἕδρα — «грань») — полуправильный многогранник (каталаново тело), двойственный курносому додекаэдру. Составлен из 60 одинаковых неправильных пятиугольников.
Имеет 92 вершины. В 12 вершинах (расположенных так же, как вершины икосаэдра) сходятся по 5 граней своими острыми углами; в 20 вершинах (расположенных так же, как вершины додекаэдра) сходятся по 3 грани теми тупыми углами, которые дальше от острого; в остальных 60 вершинах две грани сходятся своими тупыми углами, ближними к острому, и одна — тупым углом, дальним от острого.
-
12 вершин расположены так же, как вершины икосаэдра
-
20 вершин расположены так же, как вершины додекаэдра
У пентагонального гексеконтаэдра 150 рёбер — 60 «длинных» и 90 «коротких».
В отличие от большинства других каталановых тел, пентагональный гексеконтаэдр (наряду с пентагональным икоситетраэдром) является хиральным и существует в двух разных зеркально-симметричных (энантиоморфных) вариантах — «правом» и «левом».
Метрические характеристики и углы
[править | править код]При определении метрических свойств пентагонального гексеконтаэдра приходится решать кубические уравнения и пользоваться кубическими корнями — тогда как для ахиральных каталановых тел не требуется ничего сложнее квадратных уравнений и квадратных корней. Поэтому пентагональный гексеконтаэдр, в отличие от большинства других каталановых тел, не допускает евклидова построения. То же верно и для пентагонального икоситетраэдра, а также для двойственных им архимедовых тел.
В формулах ниже константа — единственный вещественный корень[1] уравнения
где — отношение золотого сечения; этот корень равен
Если три «коротких» стороны грани имеют длину , то две «длинных» стороны имеют длину
Площадь поверхности и объём многогранника при этом выражаются как
Радиус вписанной сферы (касающейся всех граней многогранника в их инцентрах) при этом будет равен
радиус полувписанной сферы (касающейся всех рёбер) —
радиус окружности, вписанной в грань —
диагональ грани, параллельная одной из «коротких» сторон —
Описать около пентагонального гексеконтаэдра сферу — так, чтобы она проходила через все вершины, — невозможно.
Все четыре тупых угла грани равны острый угол грани (между «длинными» сторонами) равен
Двугранный угол при любом ребре одинаков и равен
Примечания
[править | править код]- ↑ См. корни данного уравнения.
Ссылки
[править | править код]- Weisstein, Eric W. Пентагональный гексеконтаэдр (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.