Первая квадратичная форма

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Первая квадратичная форма (или первая фундаментальная форма или метрический тензор) поверхностиквадратичная форма на касательном расслоении поверхности, которая определяет внутреннюю геометрию поверхности в окрестности данной точки. Первая квадратичная форма часто обозначается .

Знание первой квадратичной формы достаточно для вычисления гауссовой кривизны поверхности, а также для вычисления длин дуг, углов между кривыми и площади областей на поверхности.

Определение[править | править вики-текст]

Пусть в евклидовом пространстве со скалярным произведением поверхность задана уравнением где и ― внутренние координаты на поверхности; ― дифференциал радиус-вектора вдоль выбранного направления смещения из точки в бесконечно близкую точку . Тогда квадрат главной части приращения длины выражается квадратом дифференциала :

и называется первой квадратичной формой поверхности.

Коэффициенты первой квадратичной формы обычно обозначают через

или, в тензорных символах,

Тензор называется основным, или метрическим, тензором поверхности.

Свойства[править | править вики-текст]

  • Первая квадратичная форма является положительно определенной формой в обыкновенных точках поверхности:

См. также[править | править вики-текст]

Литература[править | править вики-текст]

  • Мищенко А.С. Фоменко А.Т. Курс дифференциальной геометрии и топологии. — Физматлит, 2004. — ISBN 5-9221-0442-Х.
  • Топоногов В.А. Дифференциальная геометрия кривых и поверхностей. — Физматкнига, 2012. — ISBN 9785891552135.

Ссылки[править | править вики-текст]