Первая квадратичная форма

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Первая квадратичная форма или метрический тензор поверхностиквадратичная форма от дифференциалов координат на поверхности, которая определяет внутреннюю геометрию поверхности в окрестности данной точки. Знание первой квадратичной формы достаточно для вычисления длин дуг, углов между кривыми, площади областей на поверхности.

Определение[править | править вики-текст]

Пусть поверхность задана уравнением

где и ― внутренние координаты на поверхности;

― дифференциал радиус-вектора вдоль выбранного направления смещения из точки в бесконечно близкую точку . Квадрат главной липшицевой части приращения длины выражается квадратом дифференциала :

и называется первой основной квадратичной формой поверхности. Коэффициенты первой квадратичной формы обычно обозначают через

или в тензорных символах

Тензор называется основным, или метрическим, тензором поверхности.

Свойства[править | править вики-текст]

  • Первая квадратичная форма является положительно определенной формой в обыкновенных точках поверхности:

См. также[править | править вики-текст]

Литература[править | править вики-текст]

  • Топоногов В. А. Дифференциальная геометрия кривых и поверхностей. — Физматкнига, 2012. — ISBN 9785891552135.