Первая космическая скорость

Анализ первой и второй космической скорости по Исааку Ньютону. Снаряды A и B падают на Землю. Снаряд C выходит на круговую орбиту, D — на эллиптическую. Снаряд E улетает в открытый космос.

Пе́рвая косми́ческая ско́рость (кругова́я ско́рость) — минимальная (для заданной высоты над поверхностью планеты) скорость, которую необходимо придать объекту, чтобы он совершал движение по круговой орбите вокруг планеты. Первая космическая скорость для орбиты, расположенной вблизи поверхности Земли, составляет приблизительно 7,9 км/с.

Вычисление и понимание

В инерциальной системе отсчёта на объект, движущийся по круговой орбите вокруг Земли будет действовать только одна сила — сила тяготения Земли. При этом движение объекта не будет ни равномерным, ни равноускоренным. Происходит это потому, что скорость и ускорение (величины не скалярные, а векторные) в данном случае не удовлетворяют условиям равномерности/равноускоренности движения — то есть движения с постоянной (по величине и направлению) скоростью/ускорением. Действительно — вектор скорости будет постоянно направлен по касательной к поверхности Земли, а вектор ускорения — перпендикулярно ему к центру Земли, при этом по мере движения по орбите эти векторы постоянно будут менять своё направление. Поэтому в инерциальной системе отсчета такое движение часто называют «движение по круговой орбите с постоянной по модулю скоростью».

Уравнение второго закона Ньютона для тела, движущегося по орбите вокруг планеты, можно записать в виде

$ma=G{\frac {Mm}{R^{2}}},$

где $m$ — масса объекта, $a$ — его ускорение, $G$ — гравитационная постоянная, $M$ — масса планеты, $R$ — радиус орбиты.

В общем случае при движении тела по окружности с постоянной по модулю скоростью $v$ его ускорение равно центростремительному ускорению ${\frac {v^{2}}{R}}\ .$ С учётом этого уравнение движения с первой космической скоростью $v_{1}$ приобретает вид:

$m{\frac {v_{1}^{2}}{R}}=G{\frac {Mm}{R^{2}}}.$

Отсюда для первой космической скорости следует

$v_{1}={\sqrt {G{\frac {M}{R}}}}.$

Радиус орбиты складывается из радиуса планеты $R_{0}$ и высоты над её поверхностью $h$. Соответственно, последнее равенство можно представить в виде

$v_{1}={\sqrt {G{\frac {M}{R_{0}+h}}}}.$

Подставляя численные значения для орбиты, расположенной вблизи поверхности Земли (h ≈ 0, M = 5,97·10²⁴ кг, R₀ = 6 371 км), получаем

$v_{1}\approx$ 7,9 км/с.

С увеличением высоты орбиты первая космическая скорость уменьшается. Так, на высоте 100 км над поверхностью Земли она равна 7 844 м/с, а на высоте 300 км — 7 726 м/с.

Если скорость тела направлена горизонтально и при этом больше первой космической скорости, но меньше второй космической, то орбита представляет собой эллипс.

См. также

• Космическая скорость
• Вторая космическая скорость
• Третья космическая скорость
• Четвёртая космическая скорость
• Орбитальная скорость