Первая космическая скорость

Анализ первой и второй космической скорости по Исааку Ньютону. Снаряды A и B падают на Землю. Снаряд C выходит на круговую орбиту, D — на эллиптическую. Снаряд E улетает в открытый космос.

Пе́рвая косми́ческая ско́рость (кругова́я ско́рость) — минимальная скорость, которую необходимо придать объекту, чтобы он совершал движение по круговой орбите вокруг планеты. Первая космическая скорость для орбиты, расположенной вблизи поверхности Земли, составляет приблизительно 7,9 км/с.

Вычисление и понимание

В инерциальной системе отсчёта на объект, движущийся по круговой орбите вокруг Земли будет действовать только одна сила — сила тяготения Земли. При этом движение объекта не будет ни равномерным, ни равноускоренным. Происходит это потому, что скорость и ускорение (величины не скалярные, а векторные) в данном случае не удовлетворяют условиям равномерности/равноускоренности движения — то есть движения с постоянной (по величине и направлению) скоростью/ускорением. Действительно — вектор скорости будет постоянно направлен по касательной к поверхности Земли, а вектор ускорения — перпендикулярно ему к центру Земли, при этом по мере движения по орбите эти векторы постоянно будут менять своё направление. Поэтому в инерциальной системе отсчета такое движение часто называют «движение по круговой орбите с постоянной по модулю скоростью».

Уравнение второго закона Ньютона для тела, движущегося по орбите вокруг планеты, можно записать в виде

$ma=G{\frac {Mm}{R^{2}}},$

где $m$ — масса объекта, $a$ — его ускорение, $G$ — гравитационная постоянная, $M$ — масса планеты, $R$ — радиус орбиты.

В общем случае при движении тела по окружности с постоянной по модулю скоростью $v$ его ускорение равно центростремительному ускорению ${\frac {v^{2}}{R}}\ .$ С учётом этого уравнение движения с первой космической скоростью $v_{1}$ приобретает вид:

$m{\frac {v_{1}^{2}}{R}}=G{\frac {Mm}{R^{2}}}.$

Отсюда для первой космической скорости следует

$v_{1}={\sqrt {G{\frac {M}{R}}}}.$

Радиус орбиты складывается из радиуса планеты $R_{0}$ и высоты над её поверхностью $h$. Соответственно, последнее равенство можно представить в виде

$v_{1}={\sqrt {G{\frac {M}{R_{0}+h}}}}.$

Подставляя численные значения для орбиты, расположенной вблизи поверхности Земли (h ≈ 0, M = 5,97·10²⁴ кг, R₀ = 6 371 км), получаем

$v_{1}\approx$ 7,9 км/с.

С увеличением высоты орбиты первая космическая скорость уменьшается. Так, на высоте 100 км над поверхностью Земли она равна 7 844 м/с, а на высоте 300 км — 7 726 м/с.

Если скорость тела направлена горизонтально и при этом больше первой космической скорости, но меньше второй космической, то орбита представляет собой эллипс.

См. также

• Космическая скорость
• Вторая космическая скорость
• Третья космическая скорость
• Четвёртая космическая скорость
• Орбитальная скорость