Первая космическая скорость

Анализ первой и второй космической скорости по Исааку Ньютону. Снаряды A и B падают на Землю. Снаряд C выходит на круговую орбиту, D — на эллиптическую. Снаряд E улетает в открытый космос.

Пе́рвая косми́ческая ско́рость (кругова́я ско́рость) — минимальная (для заданной высоты над поверхностью планеты) горизонтальная скорость, которую необходимо придать объекту, чтобы он совершал движение по круговой орбите вокруг планеты. Первая космическая скорость для орбиты, расположенной вблизи поверхности Земли, составляет 7,91 км/с. Впервые была достигнута космическим аппаратом СССР 4 октября 1957 г. (первый искусственный спутник).

Вычисление и понимание

В инерциальной системе отсчёта на объект, движущийся по круговой орбите вокруг Земли, будет действовать только одна сила — сила тяготения Земли. При этом движение объекта не будет ни равномерным, ни равноускоренным. Происходит это потому, что скорость и ускорение (величины не скалярные, а векторные) в данном случае не удовлетворяют условиям равномерности/равноускоренности движения — то есть движения с постоянной (по величине и направлению) скоростью/ускорением. Действительно — вектор скорости будет постоянно направлен по касательной к поверхности Земли, а вектор ускорения — перпендикулярно ему к центру Земли, при этом по мере движения по орбите эти векторы постоянно будут менять своё направление. Поэтому в инерциальной системе отсчёта такое движение часто называют «движение по круговой орбите с постоянной по модулю скоростью».

Уравнение второго закона Ньютона для тела, принимаемого за материальную точку, движущегося по орбите вокруг планеты c радиальным распределением плотности, можно записать в виде

$ma=G{\frac {Mm}{R^{2}}},$

где $m$ — масса объекта, $a$ — его ускорение, $G$ — гравитационная постоянная, $M$ — масса планеты, $R$ — радиус орбиты.

В общем случае при движении тела по окружности с постоянной по модулю скоростью $v$ его ускорение равно центростремительному ускорению ${\frac {v^{2}}{R}}\ .$ С учётом этого уравнение движения с первой космической скоростью $v_{1}$ приобретает вид:

$m{\frac {v_{1}^{2}}{R}}=G{\frac {Mm}{R^{2}}}.$

Отсюда для первой космической скорости следует

$v_{1}={\sqrt {G{\frac {M}{R}}}}.$

Радиус орбиты складывается из радиуса планеты $R_{0}$ и высоты над её поверхностью $h$. Соответственно, последнее равенство можно представить в виде

$v_{1}={\sqrt {G{\frac {M}{R_{0}+h}}}}.$

Подставляя численные значения для орбиты, расположенной вблизи поверхности Земли (h ≈ 0, M = 5,97·10²⁴ кг, R₀ = 6 371 км), получаем

$v_{1}\approx$ 7,9 км/с.

Период обращения спутника по круговой орбите равен:

$T={\frac {2\pi R}{v}}=2\pi R{\sqrt {\frac {R}{GM}}}.$

При удалении спутника от центра Земли в 42 200 км период обращения становится равным 24 часа, то есть времени обращения Земли вокруг своей оси. Если запустить на круговую орбиту спутник на такой высоте в сторону вращения Земли в плоскости экватора, то он будет висеть над одним и тем же местом поверхности Земли на высоте 35 800 км (геостационарная орбита).

С увеличением высоты орбиты первая космическая скорость уменьшается. Так, на высоте 100 км над поверхностью Земли она равна 7 844 м/с, а на высоте 300 км — 7 726 м/с.

Другое выражение первой космической скорости имеет вид: $v_{1}={\sqrt {gR}}$, где $g$ — ускорение свободного падения на расстоянии $R$ от центра Земли.

Если скорость тела направлена горизонтально и при этом больше первой космической скорости, но меньше второй космической, то орбита представляет собой эллипс.

См. также

• Космическая скорость
• Вторая космическая скорость
• Третья космическая скорость
• Четвёртая космическая скорость

Ссылки

• Roger R. Bate; Donald D. Mueller; Jerry E. White. Fundamentals of astrodynamics. — New York: Dover Publications, 1971. — ISBN 978-0-486-60061-1.