Первообразная

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Первообрáзной или примити́вной функцией данной функции называют такую , производная которой (на всей области определения) равна , то есть . Вычисление первообразной заключается в нахождении неопределённого интеграла, а сам процесс называется интегрированием.

Так, например, функция является первообразной . Так как производная константы равна нулю, будет иметь бесконечное количество первообразных, таких как или и т.д.; таким образом, семейство первообразных функции можно обозначить как , где  — любое число. Графики таких первообразных смещены вертикально относительно друг друга, и их положение зависит от значения .

Первообразные важны тем, что позволяют вычислять интегралы. Если  — первообразная интегрируемой функции , то:

Это соотношение называется формулой Ньютона — Лейбница.

Благодаря этой связи множество первообразных данной функции называют неопределённым интегралом (общим интегралом) и записывают в виде интеграла без указания пределов:

Если  — первообразная , и функция определена на каком-либо интервале, тогда каждая последующая первообразная отличается от на константу: всегда существует число , такое что для всех . Число называют постоянной интегрирования.

Каждая непрерывная функция имеет первообразную , одна из которых представляется в виде интеграла от с переменным верхним пределом:

Также существуют не непрерывные (разрывные) функции, которые имеют первообразную. Например, с не непрерывна при , но имеет первообразную с .

Некоторые первообразные, даже несмотря на то, что они существуют, не могут быть выражены через элементарные функции (такие как многочлены, экспоненциальные функции, логарифмы, тригонометрические функции, обратные тригонометрические функции и их комбинации). Например:

.

Свойства первообразной[править | править вики-текст]

  • Первообразная суммы равна сумме первообразных
  • Первообразная произведения константы и функции равна произведению константы и первообразной функции
  • Достаточным условием существования первообразной у заданной на отрезке функции является непрерывность на этом отрезке
  • Необходимыми условиями существования являются принадлежность функции первому классу Бэра и выполнение для неё свойства Дарбу
  • У заданной на отрезке функции любые две первообразные отличаются на постоянную.

Техника интегрирования[править | править вики-текст]

Нахождение первообразных значительно сложнее, чем нахождение производных. Для этого имеется несколько методов:

Другие определения[править | править вики-текст]

Это определение является наиболее распространенным, но встречаются и другие, в которых ослаблены требования существования всюду конечной и выполнения всюду равенства , иногда в определении используют обобщения производной.

Определение первообразной через предел -ой производной[источник не указан 855 дней][править | править вики-текст]

Функция называется первообразной для функции если будет существовать предел для функции являющейся производной -го порядка для функции то есть

Теорема. Данное определение эквивалентно основному определению.

В самом деле,

Пример 1. Вычислим первообразную для функции

И так,

при условии, что

Поскольку

Получаем

Пример 2. Вычислим первообразную для функции

Примечания[править | править вики-текст]

Ссылки[править | править вики-текст]

См. также[править | править вики-текст]