Первообразный корень из единицы

Первообразный корень (или примитивный корень) степени $m$ из единицы в поле $K$ ― это такой элемент $\xi \in K$, что $\xi ^{m}=1$ и $\xi ^{\ell }\not =1$ для любого натурального $\ell <m$.

Если $K$ ― поле комплексных чисел, то степени первообразного корня $\xi$ образуют циклическую группу корней порядка $m$ из единицы.

Свойства

• Если в поле $K$ существует первообразный корень степени $m$, то $m$ взаимно просто с характеристикой поля $K$.
• Алгебраически замкнутое поле содержит первообразный корень любой степени, взаимно простой с характеристикой поля.
• Если $\xi$ ― первообразный корень степени $m$, то для любого $\ell$ взаимно простого с $m$, элемент $\xi ^{\ell }$ также является первообразным корнем. Откуда, в частности, следует, что число всех первообразных корней степени $m$ (когда они существуют) равно значению функции Эйлера $\varphi (m)$.
• В поле комплексных чисел первообразные корни степени m имеют вид:

  $e^{2\pi {i}\ell /m}=\cos {\frac {2\pi \ell }{m}}+i\sin {\frac {2\pi \ell }{m}}$,

  где $\ell$ взаимно просто с $m$.

• В конечном поле $\mathbb {F} _{q}$, где q — степень простого числа, первообразный корень степени $q-1$ является образующим (циклической) мультипликативной группы этого поля и называется примитивным элементом.

Литература

• Ван дер Варден Б. Л. Алгебра. Определения, теоремы, формулы. — СПб.: Лань, 2004. — 624 с. — ISBN 5-8114-0552-9. Архивная копия от 4 марта 2016 на Wayback Machine
• Milne, James S. Algebraic Number Theory  (неопр.). Course Notes (2014). Дата обращения: 1 октября 2014. Архивировано 17 декабря 2014 года.