Перемешивание (динамические системы)

В теории динамических систем, перемешивание — свойство системы «забывать» информацию о начальном условии с течением времени. Более точно, различают топологическое и метрическое перемешивание. Первое относится к теории непрерывных систем и, грубо говоря, утверждает, что сколь бы точно ни было известно начальное положение точки, с течением времени возможное её местонахождение становится всё более и более плотным множеством. Второе относится к теории измеримых систем — систем, сохраняющих некоторую меру $\mu$ — и утверждает, что распределение абсолютно непрерывной относительно $\mu$ меры (например, ограничения $\mu$ на заданное подмножество начальных условий) при итерациях стремится к самой мере $\mu$.

Пусть $G$ - аттрактор хаотической системы, на которой заданы оператор эволюции системы $S(G)$ и инвариантная мера $\mu$. Сегментируем аттрактор на 2 области, $B$ и $W.$ Отношение меры точек из области $B$, которые через $n$ итераций оператора эволюции $S$ попали в область $W,$ можно записать следующим образом:

$D_{n}={\frac {\mu (S^{n}(B)\cap W)}{\mu (W)}}.$

Оператор эволюции $S$ является перемешиванием, если при $n\rightarrow \infty$ значение $D_{n}$ не зависит от выбора области $W,$ а определяется отношением ${\frac {\mu (S^{n}(B)\cap W)}{\mu (W)}}\rightarrow {\frac {\mu (B)}{\mu (G)}}$ при $n\rightarrow \infty$. Эта формула, с физической точки зрения, описывает размывание любой области начальных условий $B$ по всем аттрактору $G$. В пределе, $n\rightarrow \infty$, мера образов точек множества $B$ во множестве $W$ равна мере множества $B$ на аттракторе $G$ для произвольных множеств $B$ и $W.$

Перемешивание цветного пластилина в шарике, подвергающемся последовательным отображениям Подковы Смейла

Определения

Топологическое перемешивание

По определению, (непрерывная) динамическая система $f:X\to X$ называется топологически перемешивающей, если для любых двух непустых открытых множеств $A,B\subset X$ выполнено

$\exists N:\quad \forall n\geq N\quad f^{n}(A)\cap B\neq \emptyset ,$

или, что то же самое,

$\exists N:\quad \forall n\geq N\quad A\cap f^{-n}(B)\neq \emptyset ,$

Это, в частности, означает, что для любых заданных $\varepsilon >0$ и непустого открытого множества $A$ все итерации $A$ с достаточно большим номером оказываются $\varepsilon$-плотны в фазовом пространстве.

Топологическое перемешивание является более сильным, чем транзитивность, свойством. Так, иррациональный поворот окружности транзитивен, но не перемешивает.

Метрическое перемешивание

По определению, сохраняющее меру измеримое отображение $f:(X,{\mathcal {A}},\mu )\to (X,{\mathcal {A}},\mu )$ называется метрически перемешивающим, если для любых двух измеримых множеств $A,B\in {\mathcal {A}}$ выполнено

$\mu (f^{-n}(A)\cap B)\to \mu (A)\mu (B),\quad n\to \infty .$

В терминах интегрируемых функций, это равносильно тому, что для любых двух функций $\varphi ,\psi \in L_{2}(X,\mu )$ выполнено

$\int _{X}\varphi (f^{n}(x))\psi (x)\,d\mu (x)\to \int _{X}\varphi \,d\mu \cdot \int _{X}\psi \,d\mu .$

Эргодичность меры $\mu$ является необходимым, но не достаточным условием метрического перемешивания. Так, иррациональный поворот окружности сохраняет эргодическую для него меру Лебега, но не является метрически перемешивающим.

См. также

• Транзитивность (динамические системы)
• Спектральная теория динамических систем

Литература

• Корнфельд И. П., Синай Я. Г., Фомин С. В., Эргодическая теория.
• Синай Я. Г., Современные проблемы эргодической теории, М.:ФизМатЛит, 1995, с. 24.
• Каток А. Б., Хассельблат Б. Введение в современную теорию динамических систем = Introduction to the Modern Theory of Dynamical Systems / пер. с англ. А. Кононенко при участии С. Ферлегера. — М.: Факториал, 1999. — 768 с. — ISBN 5-88688-042-9.