Перестановка

6 перестановок 3 шаров

В комбинаторике перестано́вка — это упорядоченный набор без повторений чисел $1,2,\ldots ,n,$ обычно трактуемый как биекция на множестве $\{1,2,\ldots ,n\}$, которая числу i ставит в соответствие i-й элемент из набора. Число n при этом называется длиной перестановки.

В теории групп под перестановкой произвольного множества подразумевается биекция этого множества на себя. Как синоним слову «перестановка» в этом смысле некоторые авторы используют слово подстановка. (Другие авторы подстановкой называют наглядный способ записи перестановки.)

Свойства

• Число всех перестановок из $n$ элементов равно числу размещений из n по n, то есть факториалу:

$P_{n}=A_{n}^{n}={\frac {n!}{(n-n)!}}={\frac {n!}{0!}}=n!=1\cdot 2\cdot \dots \cdot n.$

• Композиция определяет операцию произведения на перестановках одной длины: $(\pi \cdot \sigma )(k)=\pi (\sigma (k)).$ Относительно этой операции множество перестановок из n элементов образует группу, которую называют симметрической и обычно обозначают $S_{n}$.
• Любая конечная группа из n элементов изоморфна некоторой подгруппе симметрической группы $S_{n}$ (теорема Кэли). При этом каждый элемент $a\in G$ сопоставляется с перестановкой $\pi _{a}$, задаваемой на элементах G тождеством $\pi _{a}(g)=a\circ g,$ где $\circ$ — групповая операция в G.

Связанные определения

• Носитель перестановки $\pi \colon X\to X$ — это подмножество множества $X$, определяемое как $\operatorname {supp} (\pi )=\{x\in X\mid \pi (x)\neq x\}.$
• Неподвижной точкой перестановки $\pi$ является всякая неподвижная точка отображения $\pi \colon X\to X$, то есть элемент множества $\{x\in X\mid \pi (x)=x\}.$ Множество всех неподвижных точек перестановки $\pi$ является дополнением её носителя в $X$.
• Инверсией в перестановке $\pi$ называется всякая пара индексов $i,j$ такая, что $1\leqslant i<j\leqslant n$ и $\pi (i)>\pi (j)$. Чётность числа инверсий в перестановке определяет чётность перестановки.

Специальные типы перестановок

• Тождественная перестановка — перестановка $e,$ которая каждый элемент $x\in X$ отображает в себя: $e(x)=x.$
• Инволюция — перестановка $\tau ,$ которая является обратной самой себе, то есть $\tau \cdot \tau =e.$
• Беспорядок — перестановка без неподвижных точек.
• Циклом длины $\ell$ называется такая подстановка $\pi ,$ которая тождественна на всём множестве $X,$ кроме подмножества $\{x_{1},x_{2},\dots ,x_{\ell }\}\subset X$ и $\pi (x_{\ell })=x_{1},\pi (x_{i})=x_{i+1}.$ Обозначается $(x_{1},x_{2},\dots ,x_{\ell }).$.
• Транспозиция — перестановка элементов множества $X$, которая меняет местами два элемента. Транспозиция является циклом длины 2.

Подстановка

Перестановка $\pi$ множества $X$ может быть записана в виде подстановки, например:

${\begin{pmatrix}x_{1}&x_{2}&x_{3}&\dots &x_{n}\\y_{1}&y_{2}&y_{3}&\dots &y_{n}\end{pmatrix}},$

где $\{x_{1},\dots ,x_{n}\}=\{y_{1},\dots ,y_{n}\}=X$ и $\pi (x_{i})=y_{i}.$

Произведения циклов и знак перестановки

Любая перестановка $\pi$ может быть разложена в произведение (композицию) непересекающихся циклов длины $\ell \geqslant 2$, причём единственным образом с точностью до порядка следования циклов в произведении. Например:

${\begin{pmatrix}1&2&3&4&5&6\\5&1&6&4&2&3\end{pmatrix}}=(1,5,2)(3,6).$

Часто также считают, что неподвижные точки перестановки представляют собой самостоятельные циклы длины 1, и дополняют ими цикловое разложение перестановки. Для приведенного выше примера таким дополненным разложением будет $(1,5,2)(3,6)(4)$. Количество циклов разной длины, а именно набор чисел $(c_{1},c_{2},\dots )$, где $c_{\ell }$ — это количество циклов длины $\ell$, определяет цикловую структуру перестановки. При этом величина $1\cdot c_{1}+2\cdot c_{2}+\dots$ равна длине перестановки, а величина $c_{1}+c_{2}+\dots$ равна общему количеству циклов. Количество перестановок из n элементов с k циклами даётся числом Стирлинга первого рода без знака ${\begin{bmatrix}n\\k\end{bmatrix}}$.

Любой цикл может быть разложен в произведение (не обязательно непересекающихся) транспозиций. При этом цикл длины 1 (являющийся по сути тождественной перестановкой e) можно представить как пустое произведение транспозиций или, например, как квадрат любой транспозиции: $(1,2)(1,2)=(2,3)(2,3)=e.$ Цикл длины $\ell \geqslant 2$ можно разложить в произведение $\ell -1$ транспозиций следующим образом:

$(x_{1},\dots ,x_{l})=(x_{1},x_{\ell })(x_{1},x_{\ell -1})\dots (x_{1},x_{2}).$

Следует заметить, что разложение циклов на произведение транспозиций не является единственным:

$(1,2,3)=(1,3)(1,2)=(2,3)(1,3)=(1,3)(2,4)(2,4)(1,2).$

Таким образом, любая перестановка может быть разложена в произведение транспозиций. Хотя это можно сделать многими способами, чётность количества транспозиций во всех таких разложениях одинакова. Это позволяет определить знак перестановки (чётностью перестановки или сигнатурой перестановки) $\pi$ как

$\varepsilon _{\pi }=(-1)^{t},$

где $t$ — количество транспозиций в каком-то разложении $\pi$. При этом $\pi$ называют чётной перестановкой, если $\varepsilon _{\pi }=1,$ и нечётной перестановкой, если $\varepsilon _{\pi }=-1.$

Эквивалентно, знак перестановки определяется её цикловой структурой: знак перестановки $\pi$ из $n$ элементов, состоящий из $k$ циклов, равен

$\varepsilon _{\pi }=(-1)^{n-k}.$

Знак перестановки $\pi$ также может быть определен через количество инверсий $N(\pi )$ в $\pi$:

$\varepsilon _{\pi }=(-1)^{N(\pi )}.$

Перестановки с повторением

Рассмотрим n элементов m различных типов, причем в каждом типе все элементы одинаковы. Тогда перестановки из всех этих элементов с точностью до порядка следования однотипных элементов называются перестановками с повторением. Если k_i — количество элементов i-го типа, то $k_{1}+k_{2}+\dots +k_{m}=n$ и количество всевозможных перестановок с повторениями равно мультиномиальному коэффициенту $\textstyle {\binom {n}{k_{1},\ k_{2},\ \dots ,\ k_{m}}}={\frac {n!}{k_{1}!k_{2}!\dots k_{m}!}}.$

Перестановку с повторениями можно также рассматривать как перестановку мультимножества $\{1^{k_{1}},2^{k_{2}},\dots ,m^{k_{m}}\}$ мощности $k_{1}+k_{2}+\dots +k_{m}=n$.

Случайная перестановка

Случайной перестановкой называется случайный вектор $\xi =(\xi _{1},\ldots ,\xi _{n}),$ все элементы которого принимают натуральные значения от 1 до $n,$ и при этом вероятность совпадения любых двух элементов равна 0.

Независимой случайной перестановкой называется такая случайная перестановка $\xi$, для которой

$P\{\xi =\sigma \}={\frac {p_{1\sigma (1)}\ldots p_{n\sigma (n)}}{\sum \limits _{\pi \in S_{n}}p_{1\pi (1)}\ldots p_{n\pi (n)}}}$

для некоторых $p_{ij},$ таких, что

$\forall i(1\leqslant i\leqslant n):p_{i1}+\ldots +p_{in}=1$

$\sum \limits _{\pi \in S_{n}}p_{1\pi (1)}\ldots p_{n\pi (n)}>0.$

Если при этом $p_{ij}$ не зависят от $i$, то перестановку $\xi$ называют одинаково распределённой. Если же нет зависимости от $j$, то есть $\scriptstyle \forall i,j(1\leq i,j\leq n):p_{ij}=1/n,$ то $\xi$ называют однородной.

См. также

• Гигантская компонента
• Сочетание
• Размещение
• Анаграмма
• Симметрическая группа
• Алгоритм Нарайаны

Литература

• Дональд Кнут. Искусство программирования, том 3. Сортировка и поиск = The Art of Computer Programming, vol.3. Sorting and Searching. — 2-е изд. — М.: «Вильямс», 2007. — С. 824. — ISBN 0-201-89685-0.
• Кострикин А. И. Введение в алгебру. Основы алгебры.. — М.: Физматлит, 1994. — С. 59-71. — 320 с. — ISBN 5-02-014644-7.
• Сергей Мельников. Перестановки, сочетания, размещения: вывод всех перестановок // Delphi и Turbo Pascal на занимательных примерах. — БХВ-Петербург, 2012. — 448 с. — ISBN 978-5-94157-886-3.

Ссылки

• Аранжеман // Энциклопедический словарь Брокгауза и Ефрона : в 86 т. (82 т. и 4 доп.). — СПб., 1890—1907.