Перестановка

6 перестановок 3-х шаров

В комбинаторике перестано́вка — это упорядоченный набор чисел $1, 2,\ldots, n,$ обычно трактуемый как биекция на множестве $\{ 1, 2,\ldots, n \}$, которая числу i ставит в соответствие i-й элемент из набора. Число n при этом называется порядком перестановки. Как синоним слову "перестановка" в этом смысле некоторые авторы используют слово расстановка.

В теории групп под перестановкой произвольного множества подразумевается биекция этого множества на себя. Как синоним слову "перестановка" в этом смысле некоторые авторы используют слово подстановка. (Другие авторы подстановкой называют наглядный способ записи перестановки.)

Свойства

• Число всех перестановок порядка $n$ равно числу размещений из n по n, то есть факториалу:

$P_n=A_n^n=\frac {n!}{(n-n)!}=\frac {n!}{0!}=n!=1\cdot 2\cdot\dots\cdot n.$

• Композиция определяет операцию произведения на перестановках одного порядка: $(\pi\cdot\sigma)(k) = \pi(\sigma(k)).$ Относительно этой операции множество перестановок порядка n образует группу, которую называют симметрической и обычно обозначают $S_n$.
• Любая группа является подгруппой группы перестановок множества элементов этой группы (теорема Кэли). При этом каждый элемент $a \in G$ сопоставляется с перестановкой $\pi_a$, задаваемой тождеством $\pi_a(g)=a \circ g,$ где g — произвольный элемент группы G, а $\circ$ — групповая операция.

Связанные определения

• Носитель перестановки $\pi\colon X\to X$ — это подмножество множества $X$, определяемое как $\operatorname{supp}(\pi)=\{x\in X\mid\pi(x)\ne x\}.$
• Неподвижной точкой перестановки $\pi$ является всякая неподвижная точка отображения $\pi\colon X\to X$, то есть элемент множества $\{x\in X\mid\pi(x)=x\}.$ Множество всех неподвижных точек перестановки $\pi$ является дополнением её носителя в $X$.
• Инверсией в перестановке $\pi$ порядка n называется всякая пара индексов $i, j$ такая, что $1\leqslant i<j\leqslant n$ и $\pi(i)>\pi(j)$. Чётность числа инверсий в перестановке определяет чётность перестановки.

Специальные типы перестановок

• Тождественная перестановка — перестановка $e,$ которая каждый элемент $x \in X$ отображает в себя: $e(x) = x.$
• Инволюция — перестановка $\tau,$ которая является обратной самой себе, то есть $\tau\cdot\tau=e.$
• Беспорядок — перестановка без неподвижных точек.
• Циклом длины $\ell$ называется такая подстановка $\pi,$ которая тождественна на всём множестве $X,$ кроме подмножества $\{x_1,x_2,\dots,x_\ell\}\subset X$ и $\pi(x_\ell)=x_1, \pi(x_i)=x_{i+1}.$ Обозначается $(x_1,x_2,\dots,x_\ell).$. Число перестановок, содержащих k циклов, - есть числа Стирлинга первого рода
• Транспозиция — перестановка элементов множества $X$, которая меняет местами два элемента. Транспозиция является циклом длины 2.

Подстановка

Перестановка $\pi$ множества $X$ может быть записана в виде подстановки, например:

$\begin{pmatrix} x_1 & x_2 & x_3 & \dots & x_n \\ y_1 & y_2 & y_3 & \dots & y_n\end{pmatrix},$

где $\{x_1,\dots, x_n\}=\{y_1,\dots, y_n\}=X$ и $\pi(x_i)=y_i.$

Произведения циклов и знак перестановки

Любая перестановка $\pi \ne e$ может быть разложена в произведение (композицию) непересекающихся циклов длины $l \geqslant 2,$ причём единственным образом с точностью до порядка следования циклов в произведении. Например:

$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ 5 & 1 & 6 & 4 & 2 & 3\end{pmatrix} = (1, 5, 2)(3, 6).$

Любой цикл может быть разложен в произведение (не обязательно непересекающихся) транспозиций. Для произвольного цикла длины $l \geqslant 2$ разложение можно написать так: $(x_1,\dots, x_l) = (x_1,x_l)(x_1,x_{l-1})\dots (x_1, x_2).$ Циклы длины 1 действуют как тождественная перестановка и тоже могут быть легко разложены, так как квадрат любой транспозиции есть тождественная перестановка: $(1, 2)(1, 2) = (2, 3)(2, 3) = e.$ Такое разложение циклов на произведение транспозиций не будет единственным: $(1, 2, 3) = (1, 3)(1, 2) = (2, 3)(1, 3) = (1, 3)(2, 4)(1, 2)(2, 4).$

Таким образом любая перестановка может быть разложена в произведение транспозиций. Хотя это разложение и не будет единственным, но чётность числа транспозиций, входящих в разложение, сохраняется. Пусть перестановка $\pi$ разложена в произведение $k$ транспозиций, тогда знаком перестановки (иначе: чётностью перестановки или сигнатурой перестановки) $\pi$ называют число $\varepsilon_{\pi} = (-1)^k,$ при этом $\pi$ называют чётной перестановкой, если $\varepsilon_{\pi} = 1,$ и нечётной перестановкой, если $\varepsilon_{\pi} = -1.$

Знак перестановки $\pi$ также может быть определен через число инверсий $N(\pi)$ в этой перестановке: $\varepsilon_{\pi} = (-1)^{N(\pi)}.$

Замечание. Имеется два соглашения по умножению перестановок и циклов:

1) $(\sigma \circ \tau)(i) = \sigma (\tau (i))$.

Например: $(1 2)(2 3) = (1 2 3)$.

2) $(i)(\sigma \circ \tau) = ((i)\sigma ) \tau$.

Например: $(1 2)(2 3) = (1 3 2)$.

Перестановки с повторением

Рассмотрим n элементов m различных типов, причем в каждом типе все элементы одинаковы. Тогда перестановки из всех этих элементов с точностью до порядка следования однотипных элементов называются перестановками с повторением. Если k_i — количество элементов i-го типа, то $k_1+k_2+\dots+k_m=n$ и количество всевозможных перестановок с повторениями равно мультиномиальному коэффициенту $\textstyle \binom{n}{k_1,\ k_2,\ \dots,\ k_m} = \frac{n!}{k_1!k_2!\dots k_m!}.$

Случайная перестановка

Случайной перестановкой называется случайный вектор $\xi=(\xi_1, \ldots , \xi_n),$ все элементы которого принимают натуральные значения от 1 до $n,$ и при этом вероятность совпадения любых двух элементов равна 0.

Независимой случайной перестановкой называется такая случайная перестановка $\xi$, для которой

$P\{\xi=\sigma\}=\frac{p_{1\sigma(1)}\ldots p_{n\sigma(n)}}{\sum\limits_{\pi \in S_n}p_{1\pi(1)}\ldots p_{n\pi(n)}}$

для некоторых $p_{ij},$ таких что

$\forall i (1\leqslant i \leqslant n): p_{i1}+\ldots + p_{in}=1$

$\sum\limits_{\pi \in S_n}p_{1\pi(1)}\ldots p_{n\pi(n)}>0.$

Если при этом $p_{ij}$ не зависят от $i$, то перестановку $\xi$ называют одинаково распределённой. Если же нет зависимости от $j$, то есть $\scriptstyle \forall i,j (1\le i,j \le n): p_{ij}=1/n,$ то $\xi$ называют однородной.

См. также

• Гигантская компонента
• Сочетание
• Размещение
• Анаграмма
• Симметрическая группа

Литература

• Дональд Кнут Искусство программирования, том 3. Сортировка и поиск = The Art of Computer Programming, vol.3. Sorting and Searching. — 2-е изд. — М.: «Вильямс», 2007. — С. 824. — ISBN 0-201-89685-0
• Кострикин А. И. Введение в алгебру. Основы алгебры.. — М.: Физматлит, 1994. — С. 59-71. — 320 с. — ISBN 5-02-014644-7

Ссылки

• Аранжеман // Энциклопедический словарь Брокгауза и Ефрона: В 86 томах (82 т. и 4 доп.). — СПб., 1890—1907.
• Алгоритм и программа получение всех перестановок транспозицией соседних элементов. Глава из книги.