Перестановочное неравенство

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Перестановочное неравенство, или неравенство об одномонотонных последовательностях, или «транс-неравенство», утверждает, что скалярное произведение двух наборов чисел является максимальным возможным, если наборы одномонотонны (то есть оба одновременно неубывающие или одновременно невозврастающие), и минимально возможным, если наборы противоположной монотонности (то есть один неубывающий, другой невозврастающий).

Другими словами, если и , то для произвольной перестановки чисел выполняется неравенство:

Следствием перестановочного неравенства является неравенство Чебышёва для сумм.

Попытки обобщения[править | править вики-текст]

Для и двух наборов вещественных чисел и ,

если число инверсий в перестановке меньше чем в перестановке . В частности, у тождественной перестановки число инверсий равно нулю, а у перестановки число инверсий максимально.

Первоначальная публикация обобщённого перестановочного неравенства (Scripta Mathematica 1946, 12(2), 164—169) утверждала, что оно справедливо для всех натуральных , однако при к нему существуют контрпримеры, в частности для наборов 0,1,2,3 и 0,1,2,10:

При неравенство совпадает с обычным перестановочным неравенством.

Ссылки[править | править вики-текст]