Перестановочное неравенство

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Перестановочное неравенство, или неравенство об одномонотонных последовательностях, или «транс-неравенство», утверждает, что скалярное произведение двух наборов чисел является максимальным возможным, если наборы одномонотонны (то есть оба одновременно неубывающие или одновременно невозврастающие), и минимально возможным, если наборы противоположной монотонности (то есть один неубывающий, другой невозврастающий).

Другими словами, если и , то для произвольной перестановки чисел выполняется неравенство:

В частности, если , то независимо от упорядочивания .

Следствием перестановочного неравенства является неравенство Чебышёва для сумм.

Доказательство[править | править код]

Обозначим . Для доказательство удобно несколько переформулировать утверждение:

Здесь - множество всех возможных перестановок, а - тождественная перестановка.

Основная идея доказательства состоит в том, что если для некоторых , то, поменяв местами значения и , мы не уменьшим значение суммы .

Рассмотрим указанную сумму для некоторой перестановки и такой пары . Рассмотрим перестановку, образуемую из инверсий этой пары.

.

По определению,

Согласно выбору и предположению об упорядоченности , справедливо неравенство , так что .

Следовательно, мы можем уменьшать число инверсий, не уменьшая значения . В итоге такой процесс приведёт к превращению в , так что .

Обобщения[править | править код]

Для нескольких перестановок[править | править код]

Пусть даны упорядоченных последовательностей . Обозначим . Тождественную перестановку по-прежнему будет обозначать как .

Тогда для любого набора .

Для выпуклых функций[править | править код]

Идея доказательства через пошаговое исправление инверсий применима для более широкого класса случаев, чем просто для скалярного произведения.

Пусть - выпуклая функция, и упорядочены по неубыванию. Тогда

Умножая все значения на , можно вывести аналогичное неравенство, но со знаком в другую сторону, для вогнутых функций.

Следствия[править | править код]

  • при (выпуклая функция): обычное перестановочное неравенство для наборов и
  • при (выпуклая функция):

После сокращения обеих частей на , опять получаем обычное перестановочное неравенство.

  • при (вогнутая функция):

После взятия экспоненты от обоих частей: ;

  • при (вогнутая функция):

Неудачные попытки обобщения[править | править код]

В 1946 году была опубликована (Scripta Mathematica 1946, 12(2), 164—169) попытка следующего обобщения неравенства:

Для и двух наборов вещественных чисел и ,

если число инверсий в перестановке меньше чем в перестановке .


Однако впоследствии оказалось, что уже при для этого неравенства существуют контрпримеры. Например,

При это обобщение всегда верно.

Полезные следствия[править | править код]

Перестановочное неравенство интересно тем, что позволяет интуитивно объединить общей основой внешне совершенно непохожие, но очень много применяемые в разных областях математики числовые неравенства.

В этом разеделе мы будем рассмарвиать наборы чисел длины и подразумевать, что обозначение при обозначает , то есть индексы зациклены.

Неравенство Коши — Буняковского[править | править код]

Согласно перестановочному неравенство, для любого выполняется .

Из этого можно вывести важный частный случай неравенства Коши-Буняковского:

Аналогично, разбивая сумму на частей по всем возможным -мерным сдвигам индексов и используя обобщение на несколько перестановок, можно вывести более общее неравенство для целых :

Общее неравенство Коши-Буняковского[править | править код]

Если нормировать значения и таким образом, чтобы выполнялось , то это влечёт неравенство Коши-Буняковского. Для этого достаточно разделить все на , а все на . Поскольку неравенство Коши-Буняковского допускает такие умножения без изменения истинности, то это доказывает утверждение.

Неравенства средних[править | править код]

Квадратичное и арифметическое[править | править код]

Нервенство между квадратичным и арифметическим средним элементарно выводимо из доказанного выше частного случая неравенства Коши-Буняковског.

Арифметическое и геометрическое[править | править код]

Неравенство между арифметическим и геометрическим средним гласит, что

Умножая обе части на и рассматривая -ые степени переменных, увидим, что это то же самое, что

Последнее же неравенство легко получить, используя обобщение перестановочного неравенство на несколько перестановок при

Геометрическе и гармоническое[править | править код]

Приведём неравенство к тому же виду, что и предыдущее:

Рассматривая -ые степени переменных, получаем

Последнее неравенство легко получить прямым применением перестановчного неравенства для нескольких перестановок.

Ссылки[править | править код]