Период Пизано

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску

Математик средневековой Европы Леонардо Пизанский, известный под прозвищем Фибоначчи, заметил, что, если вычислять остатки от деления элементов последовательности, составленной из чисел Фибоначчи, на произвольное натуральное число , то получится последовательность, в которой первые элементов повторяются бесконечно. Число (зависимое от ) было названо периодом Пизано.

Примеры[править | править код]

Например, определим период Пизано при . Пусть  — -е число Фибоначчи.  — остаток от деления -го числа Фибоначчи на число . Заполнив следующую таблицу,

Определение при
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18
0 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 233 377 610 987 1597 2584
0 1 1 2 3 1 0 1 1 2 3 1 0 1 1 2 3 1 0

заметим, что первые шесть чисел (0, 1, 1, 2, 3, 1) последовательности повторяются бесконечно, значит для период Пизано равен шести: .

Последовательность, составленная из периодов Пизано, получила номер A001175, и начало её показано в следующей таблице.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
1 3 8 6 20 24 16 12 24 60 10 24 28 48 40 24

Периодичность[править | править код]

Последовательность Фибоначчи по модулю любого натурального числа периодична, так как среди первых пар чисел найдутся две равные пары для некоторых . Поэтому для всех натуральных k выполняется , то есть, последовательность периодична.

Свойства[править | править код]

  • Если a и b взаимно просты, то . Или, если разложить на простые множители: , то (следствие китайской теоремы об остатках).
  • , где за обозначено количество нулей в периоде, а за обозначен индекс первого нуля (не считая ). Более того, известно что .
  • Для простого числа и целого числа выполняется . Более того, для всех точных степеней простых чисел от 1 до миллиона выполнено равенство . Но до сих пор неизвестно (см. открытые математические проблемы), для всех ли чисел справедливо это равенство, и существуют ли такое p, что .
  • Если  — простое число, то справедливы следующие утверждения:
    • при число является делителем ;
    • при число является делителем .
  • Для всех положительных целых чисел справедливо неравенство , причём равенство в нём достигается только на числах вида .

Ссылки[править | править код]